Решение задачи Коши

[myra_panama]

Доказать , что решение задача Коши $y(x)$ для уравнения удовлетворяет условию:
$0\le y(x)\le 1 , |x|<\sqrt{2}$ , если $y'=x\sqrt{2-x^2-y^2} , y(0)=0$

[ewert]

myra_panama в сообщении #451160 писал(а):

решение задача Коши $y(x)$ для уравнения удовлетворяет условию:
$0\le y(x)\le 1 , |x|<\sqrt{2}$ , если $y'=x\sqrt{2-x^2-y^2} , y(0)=0$

Оно фактически ещё меньше: оно меньше, чем $\dfrac{2\sqrt2}{3}$ (достаточно огрубить, выкинув игрек из-под корня). Беда только в том, что это решение заведомо не доходит до точек $x=\pm\sqrt2$. Странное условие.

[myra_panama]

ewert в сообщении #451167 писал(а):

Странное условие.

кстати я нашел такое указание :
доказать, что $|y'|\le |x|\sqrt{2-x^2}$ и проинтегрировать это неравенство...

[ewert]

А я о чём.

Только там надо чуть аккуратнее: отдельно доказать для положительных иксов (безо всяких модулей) -- а для отрицательных просто сослаться на чётность решения, получающуюся после соответствующей замены.

[myra_panama]

При $0<x<\sqrt 2$ имеем:
$y(x)=\int\limits_{0}^{x}y'(x)dx=\int\limits_{0}^{x}x\sqrt{2-x^2-y^2}dx\le \int\limits_{0}^{x}x\sqrt{2-x^2}dx=\frac13(2^{\frac32}-(2-x^2)^{\frac32})<\frac{\sqrt 8}{3}<1$
и аналогично можно так при $-\sqrt 2<x<0$