Решить интеграл

[Gardataxe]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, решить интеграл

$$\[\int {\sqrt {1 - {k^2}{x^2}} dx} \]$$

где $k$ - константа.
Этот интеграл надо решать методом интегрирования по частям дважды. Сначала преобразовывается к виду:

$$\[\begin{gathered} \int {\sqrt {1 - {k^2}{x^2}} dx} = \int {\frac{{1 - {k^2}{x^2}}}{{\sqrt {1 - {k^2}{x^2}} }}dx = } \hfill \\ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {k^2}{x^2}} }}} + {k^2}\int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {k^2}{x^2}} }}dx} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Затем применяем интегрирование по частям

$$\[\begin{gathered} \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {k^2}{x^2}} }}dx} = \left| \begin{gathered} u = {x^2}\;\;\;du = 2xdx \hfill \\ dv = \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {k^2}{x^2}} }}\;\;\;v = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } \right| \hfill \\ \end{gathered} \right| = \hfill \\ = {x^2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } \right| - 2\int {x\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } \right|} dx \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Подскажите, пожалуйста, что делать дальше. Первый раз я проинтегрировал по частям. Дальше не знаю что делать. Может я что-то сделал неправильно.

[Dan B-Yallay]

Во первых, интегралы или находят, или вычисляют.
Решить интеграл - это такой же абсурд, как решить квадратный корень, решить (круглую) скобку или решить сложение.
Во вторых - не по частям, а тригонометрической заменой.

(Оффтоп)

В третьих - Ваш интеграл табличный.

[Gardataxe]

Dan B-Yallay в сообщении #450500 писал(а):

В третьих - Ваш интеграл табличный.

Подскажите, пожалуйста, его.

[ИСН]

Альфа подскажет.
(Переписывать неохота, он длинный и противный. Надо сделать один раз и запомнить.)

[Gardataxe]

ИСН в сообщении #450516 писал(а):

Альфа подскажет.
(Переписывать неохота, он длинный и противный. Надо сделать один раз и запомнить.)

Что за альфа ?

[Dan B-Yallay]

Gardataxe писал(а):

Подскажите, пожалуйста, его.

лучше в $\displaystyle\int \sqrt{1-k^2x^2}dx$ сделайте замену $kx=\sin u$ и посмотрите, что получится. В таблицу заглянуть всегда успеете.

[oleg-spbu]

Если хотите именно по частям, то

$$u=\sqrt{1-k^2x^2}$$

;

$$dv=dx$$

[vlad_light]

Цитата:

Что за альфа

http://www.wolframalfa.com

Цитата:

В третьих - Ваш интеграл табличный.

Какая же это у Вас таблица длинная?

[AKM]

Gardataxe в сообщении #450522 писал(а):

Что за альфа ?

Имеется в виду http://www.wolframalpha.com.
В окне ввода введите integrate (sqrt(1-k^2x^2),x).
Под $\sin^{-1}$, что в ответе будет, подразумевается $\arcsin$ .

[oleg-spbu]

(Оффтоп)

Кстати, всегда было интересно -- считают ли эти интегралы табличными или нет?

$$\int\!{dx \over \sin x}$$

$$\int\!{dx \over \cos x}$$

С одной стороны -- они есть в "расширенной" таблице интегралов, а с другой -- их можно встретить в задачниках)

[Dan B-Yallay]

vlad_light писал(а):

Какая же это у Вас таблица длинная?

http://www.pm298.ru/mtab_integral.php

[Gardataxe]

Спасибо всем за помощь. В альфе я набрал этот интеграл, результат получился довольно сложный. Кстати, интеграл в этой теме я выложил не совсем правильный, извините, но сути это не меняет. Одногрупник мне этот интеграл решил, а потом оказалось, что решение этого интеграла (довольно сложный получился результат) надо подставить в выражение и проинтегрировать еще раз...

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #450500 писал(а):

Решить интеграл - это такой же абсурд, как решить квадратный корень, решить (круглую) скобку или решить сложение.

А решить треугольник?

[myra_panama]

oleg-spbu в сообщении #450526 писал(а):

Если хотите именно по частям, то

$$u=\sqrt{1-k^2x^2}$$

;

$$dv=dx$$

А вот и правда ......

$\[\int {\sqrt {1 - {k^2}{x^2}} dx} \]$=$x\sqrt {1 - {k^2}{x^2}}+$${k^2}\int{\frac{x^2}{\sqrt {1 - {k^2}}}$=...
дальше немножечко подумать надо.......