Симметрические многочлены от синусов и косинусов

[Lion]

Докажите, что $f(\sin\varphi, \ldots, \sin n\varphi)=f(\cos\varphi, \ldots, \cos n\varphi)$, где $f(x_1,\ldots, x_n)$ --- элементарный симметрический многочлен порядка не больше $n-1$, $\varphi=\frac{2\pi}{n}$ и $n\ge3$.

[RIP]

Хмм

$$n=1,f(x)=x\Rightarrow f(\sin\varphi)=0\ne f(\cos\varphi)$$

Я что-то пропустил

[Lion]

Мда... это просто не день Бекхема .
Сейчас поправлю условие.

[RIP]

Только порядка не выше $n-1$.

[Lion]

Большое спасибо, сейчас еще раз поправлю (надеюсь, в последний раз ).

[maxal]

Достаточно показать, что $\sin j\varphi,\ j=1,\dots,n$ и $\cos j\varphi,\ j=1,\dots,n$ являются корнями многочленов степени $n,$ у которых совпадают все коэффициенты за исключением свободных членов.
Эти многочлены можно явно получить из формулы

$$(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi.$$

[RIP]

Другими словами, надо доказать, что многочлен

$$f(x)=\prod_{k=1}^n(x-\cos k\varphi)-\prod_{k=1}^n(x-\sin k\varphi)$$

есть константа.
Если $n\equiv0\pmod4$, то косинусы - просто перестановка синусов, т.е. $f(x)=0$.
Иначе среди чисел $\cos\varphi,\cos2\varphi,\ldots,\cos n\varphi,\sin\varphi,\ldots,\sin n\varphi$ как минимум $n$ штук различных, поэтому достаточно проверить, что

$$f(\cos\varphi)=\ldots=f(\cos n\varphi)=f(\sin\varphi)=\ldots=f(\sin n\varphi)$$

$$f(\cos m\varphi)=-\prod_{k=1}^n(\cos m\varphi-\sin k\varphi)=-2^n\prod_{k=1}^n\sin(\frac{\pi}4-\frac{k+m}2\varphi)\,\cdot\prod_{k=1}^n\cos(\frac{\pi}4+\frac{k-m}2\varphi)$$

$$f(\sin m\varphi)=\prod_{k=1}^n(\sin m\varphi-\cos k\varphi)=2^n\prod_{k=1}^n\sin(\frac{k+m}2\varphi-\frac{\pi}4)\,\cdot\prod_{k=1}^n\cos(\frac{\pi}4+\frac{m-k}2\varphi)$$

При изменении $m$ на $1$ произведения справа просто меняют знак, поэтому

$$f(\cos\varphi)=\ldots=f(\cos n\varphi)$$

$$f(\sin\varphi)=\ldots=f(\sin n\varphi)$$

Кроме того, несложно понять, что $f(\cos\varphi)=f(\sin\varphi)$ ($2$ первых произведения отличаются в $(-1)^n$ раз, а вторые - в $(-1)^{n-1}$)
Может, есть способ попрощее

[maxal]

Ага, только нужно "как минимум $n+1$ штук различных".

Еще один способ: вместо элементарных симметрических доказывать равенство элементарных степенных полиномов от синусов и косинусов, используя многочлены Чебышева.

[RIP]

maxal писал(а):

Ага, только нужно "как минимум $n+1$ штук различных".

Так ведь степень многочлена не выше $n-1$ (и даже понятно, что не выше $n-2$)

[Lion]

Вообще, можно доказать даже больше: если $\alpha$ --- произвольный угол, то $f(\cos\varphi,\ldots,\cos n\varphi)=f(\cos(\varphi-\alpha),\ldots,\cos (n\varphi-\alpha))$. Отсюда при $\alpha=\pi/2$ получаем утверждение исходной задачи.