Куб в позиционной системе счисления

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #450923 писал(а):

nnosipov, Вы как решали? Сначала уравнение Пелля $5(5y)^2-q^2=1$ (ФР $5(305)^2-682^2=1$), а затем просто решаете линейное уравнение относительно $b$? А как докаывается, что $0 \leq b<q$?

Да, именно так. Поскольку $125y \approx \sqrt{125}q$, имеем $b=125y-11q<q$.

-- Сб май 28, 2011 00:57:29 --

Xenia1996 в сообщении #450924 писал(а):

nnosipov в сообщении #450919 писал(а):

Вроде бы да, причём бесконечно много. Прошу проверить.

Проверила.

Ксения, ведь неизвестных-то три, а уравнений два. Да и решать нужно в целых числах.

[Sonic86]

Ну тогда значит правильно!

[nnosipov]

Sonic86, а что скажете по поводу моего "отрицательного" утверждения (это на первой странице)?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #450925 писал(а):

Ксения, ведь неизвестных-то три, а уравнений два. Да и решать нужно в целых числах.

Вы можете хотя бы на один конкретный пример такого числа указать (кроме $2626_7=(10_{10})^3$)?

[Sonic86]

nnosipov писал(а):

Sonic86, а что скажете по поводу моего "отрицательного" утверждения (это на первой странице)?

Достаточно брать $q$ простым и вида $4k+3$? Хотя нет, это вранье...
Если бесконечно число чисел $n^2+1$, свободных от квадратов (а это скорее всего так), то утверждение верно.

-- Сб май 28, 2011 00:10:27 --

Xenia1996 в сообщении #450935 писал(а):

Вы можете хотя бы на один конкретный пример такого числа указать (кроме $2626_7=(10^3)_{10}$)?

$y=61, q=682, n=1525, b=123$

[Xenia1996]

Здесь предлагают иное решение.

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #450936 писал(а):

Если бесконечно число чисел $n^2+1$, свободных от квадратов (а это скорее всего так), то утверждение верно.

$n^2+1$ свободно от квадратов, если $(\forall p) n^2+1 \not \equiv 0 \pmod{p^2}$. Среди целых чисел из $[1;p^2]$ сравнению удовлетворяют $p^2-2$, а так как $\rho = \prod\limits_{p} \left( 1 - \frac{2}{p^2} \right) > 0$, то число чисел вида $n^2+1$, свободных от квадратов, не только бесконечно, но и имеет положительную плотность. Так что верно.
(Проверьте. Навру легко с три короба.)

-- Сб май 28, 2011 00:37:33 --

А какая плотность у множества $n$, удовлетворяющих условию - больше нуля или все-таки нуль?

[nnosipov]

Что-то я не понимаю, почему если $n^2+1$ свободно от квадратов, то всё в порядке. Хотя нет, дошло. Но я с ходу ничего про плотность таких чисел не могу сказать. На самом деле без этого можно обойтись. Достаточно показать, что бесконечно много таких чисел имеют большие простые делители.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #450947 писал(а):

Что-то я не понимаю, почему если $n^2+1$ свободно от квадратов, то всё в порядке.

$m^3 = (n^2+1)(an+b)$, $an+b<n^2$, тогда $n=p_1...p_s$ с $r \geq s$ дает $m^3=(p_1^{a_1}...p_r^{a_r})^3=(n^2+1)(an+b)<p_1^3...p_s^3$, что ведет к противоречию (иначе зачем бы Вы начали квадраты искать?)

-- Сб май 28, 2011 00:47:05 --

nnosipov в сообщении #450947 писал(а):

Достаточно показать, что бесконечно много таких чисел имеют большие простые делители.

это какие - большие? Можно поподробнее...

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #450940 писал(а):

Здесь предлагают иное решение.

Ксения, а кто раньше нашёл? Вы время не засекали? Мне просто любопытно. (Идея-то решений одна и та же.)

-- Сб май 28, 2011 01:49:54 --

Sonic86 в сообщении #450953 писал(а):

это какие - большие? Можно поподробнее...

Ну, например, $p>2n$. (У меня в голове почему-то застряла одна задача с IMO 49: Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что число $n^2+1$ имеет простой делитель $p>2n+\sqrt{2n}$.)

[Sonic86]

(Оффтоп)

А $5$-адическое решение я добить не могу

-- Сб май 28, 2011 00:52:30 --

nnosipov в сообщении #450956 писал(а):

Ну, например, $p>2n$.

Ааа, этих вроде ровно половина.... Тогда все понятно...

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #450956 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #450940 писал(а):

Здесь предлагают иное решение.

Ксения, а кто раньше нашёл? Вы время не засекали? Мне просто любопытно. (Идея-то решений одна и та же.)

Для каждого сообщения указано время его отправки.
Сама я решила только первый пункт (там, где 2626 в базе 7), а второго вообще не было, я просто так его добавила: http://www.imomath.com/othercomp/Ire/IreMO98.pdf (задача 3).

[Sonic86]

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #450959 писал(а):

а второго вообще не было, я просто так его добавила:

Я так и знал! Ксюша как обобщит, так голову можно сломать

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #450962 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #450959 писал(а):

а второго вообще не было, я просто так его добавила:

Я так и знал! Ксюша как обобщит, так голову можно сломать

Сперва мне показалось, что второй можно так же легко решить, как и первый. А когда поняла, что ошиблась, уже поздно было. Зато какая задача-красавица получилась!

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #450962 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #450959 писал(а):

а второго вообще не было, я просто так его добавила:

Я так и знал! Ксюша как обобщит, так голову можно сломать

(Оффтоп)

Ксения просто молодец, уже столько интересных сюжетов нам подбросила. И вообще, постоянно держит нас в форме.