Куб в позиционной системе счисления

[Xenia1996]

Каждому школьнику известно, что число вида $\frac{}{abab}$ не может быть кубом в десятичной системе счисления.
Найти такое наименьшее натуральное $n>1$, что в позиционной системе счисления с основанием $n$ число вида $\frac{}{abab}$ может быть кубом натурального числа.
Существует ли такое наибольшее $n$?

[alex1910]

1. 2626(7)=1000(10).
2. Скорее нет, чем да.

[venco]

1. $2626$ в $7$-ичной системе.
2. как минимум, в любой системе счисления $25k+7$ такое число есть.

Опоздал на 15 секунд.

[Sonic86]

venco писал(а):

2. как минимум, в любой системе счисления $25k+7$ такое число есть.

Почему? Я при $n=32$ не могу найти? Плохо ищу?

-- Пт май 27, 2011 19:36:41 --

Если я не ошибся, то бесконечность решений вытекает из того, что $5$-адическое число $\sqrt{-1}$ имеет сколь угодно много цифр, равных 0. А это скорее всего верно Решениями будут именно те "частичные суммы" $n_k= \sum\limits_{j=0}^k a_j5^j$, для которых не только $n_k^2+1 \equiv 0 \pmod{5^k}$, но и $n_k^2+1 \equiv 0 \pmod{5^{k+1}}$. Хотя можно и послабже условие написать для $k=3l$.

[VAL]

venco в сообщении #450804 писал(а):

2. как минимум, в любой системе счисления $25k+7$ такое число есть.

Как минимум, в системе счисления с основанием 32 такого числа нет.

[nnosipov]

Для бесконечно многих оснований системы счисления никакое число вида $\overline{abab}$ не может быть точным кубом.

[VAL]

При основании 682 имеется целых 17 подходящих чисел.
К чему бы это?

[venco]

VAL в сообщении #450890 писал(а):

venco в сообщении #450804 писал(а):

2. как минимум, в любой системе счисления $25k+7$ такое число есть.

Как минимум, в системе счисления с основанием 32 такого числа нет.

Да, я уже понял, где ошибся.

[nnosipov]

Пусть $q$ --- основание системы счисления. Положим $a=11$, а $b$ определим из системы

$$ q^2+1=5^3y^2, \quad 11q+b=125y. $$

Тогда $\overline{(11)b(11)b}$ будет искомым кубом. Не наврал ли я?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #450908 писал(а):

Пусть $q$ --- основание системы счисления. Положим $a=2$, а $b$ определим из системы

$$ q^2+1=5^3y^2, \quad 11q+b=125y. $$

Тогда $\overline{(11)b(11)b}$ будет искомым кубом. Не наврал ли я?

Ничего не понимаю, а куда у Вас $ a $ подевалось? Вы же предположили $a=2$

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #450911 писал(а):

Ничего не понимаю, а куда у Вас $ a $ подевалось? Вы же предположили $a=2$

Сегодня у меня много опечаток. Уже исправил на $a=11$.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #450908 писал(а):

$$ q^2+1=5^3y^2, \quad 11q+b=125y. $$

Разве эта система уравнений имеет целочисленные решения?

И почему у Вас именно "+1"? Разве $b=1$?

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #450917 писал(а):

nnosipov в сообщении #450908 писал(а):

$$ q^2+1=5^3y^2, \quad 11q+b=125y. $$

Разве эта система уравнений имеет целочисленные решения?

Вроде бы да, причём бесконечно много. Прошу проверить.

[Sonic86]

nnosipov, Вы как решали? Сначала уравнение Пелля $5(5y)^2-q^2=1$ (ФР $5(305)^2-682^2=1$), а затем просто решаете линейное уравнение относительно $b$? А как докаывается, что $0 \leq b<q$?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #450919 писал(а):

Вроде бы да, причём бесконечно много. Прошу проверить.

Проверила.