Правильно ли я сделал?

[Svan]

Привет.
Можете посмотреть не ошибся ли я?
Берем известную формулу

$$\int\limits_a^b {f(x)dx} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{b - a}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {f(a + k\frac{{b - a}}{n})} $$

Далее преобразовываем:

$$F(b) - F(a) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{b - a}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {f(a + k\frac{{b - a}}{n})} $$

$$f(b) - f(a) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{b - a}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {f'(a + k\frac{{b - a}}{n})} $$

Пусть a такое, что

$$f(a) = 0$$

:

$$f(s) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{s - a}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {f'(a + k\frac{{s - a}}{n})} $$

Можете пожайлуста сказать, верная формула получилась? И при всех ли значениях s она верна?

[Gortaur]

Да, у Вас все правильно. Она верна при всех значениях $s$, если $f\in\mathcal{C}^1$ - это для того, чтобы производная точно интегрировалась.

[Svan]

А если поразмышлять дальше?

$$f(s) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{s - a}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {f'(a + k\frac{{s - a}}{n})} , f(a)=0$$

Но

$$f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{j \to 0} \frac{{f(a + j) - f(a)}}{j} = \mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } j(f(a + \frac{1}{j}) - f(a))$$

Следовательно

$$f(s) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{s - a}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {(\mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } j(f(a + k\frac{{s - a}}{n} + \frac{1}{j}) - f(a + k\frac{{s - a}}{n}))} )$$

$$f(s) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{s - a}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {(n(f(a + k\frac{{s - a}}{n} + \frac{1}{n}) - f(a + k\frac{{s - a}}{n}))} )$$

$$f(s) = (s - a)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {(f(a + \frac{{k(s - a) + 1}}{n}) - f(a + \frac{{k(s - a)}}{n}))} $$

Верно ли это?

[AKM]

Смотрите, Svan, какие у нас тут чудные скобочки имеются:

$$f(s) = (s - a)\lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \left[f\left(a + \frac{{k(s - a) + 1}}{n}\right) - f\left(a + \frac{{k(s - a)}}{n}\right)\right]. $$

Пользуйтесь, если понравилось.

[Dan B-Yallay]

Замена $j$ на $n$ (с затиранием лимита по $j$ )нуждается в обосновании.

[Gortaur]

Svan
Ваши рассуждения примерно таковы,

$$ f(s) = \lim\limits_n S_n(x), $$

где $S_n$ - Ваша сумма Римана. Далее что Вы делаете:

$$ S_n(x) = \lim\limits_j S_{j,n}(x) $$

и поэтому

$$ \lim\limits_n\lim\limits_j S_{j,n}(x) = \lim\limits_n S_{n,n}(x). $$

В общем случае такое можно делать только если данный двойной предел не зависит от способа, которым Вы подходите к бесконечности. В Вашем же случае зависимость наверняка есть - поэтому и требуется обоснование, что такой переход можно делать. И вообще, зачем Вам выражать $f$ через саму себя?