уравнение в частных производных

[sup]

Скорее всего, Вы и численно ничего не получите. Там, если так можно выразиться, чудовищная неустойчивость. Это как раз то, что называют "некорректные задачи". Я, все же, склонен считать, что Вы что-то напутали. Типичная диффузия описывается "нормальным" уравнением теплопроводности.
$U_t - U_{xx}=f$
По сути, есть некая концентрация чего-то-там. Вещество диффундирует, концентрация меняется со временем. Задача - выяснить, как это все протекает во времени. У Вас присутствует еще и некий "демон Максвелла", который сидит на стенке и как-то влияет на диффузию. Ну, это можно понять. К слову, даже не будучи физиком или химиком, можно сообразить, что вещество будет как-то расплываться, концентрация будет более или менее выравниваться и тд.
Но вот Вы случайно перепутали знак и получили
$U_t + U_{xx}=f$
И все сразу стало плохо. Это то же самое, что рассматривать кинопленку с диффузией в обратном направлении. Вещество начинает магическим образом кластеризоваться вопреки энтропийным соображениям. С математической точки зрения эта задача плохая. Там в принципе нет и не может быть никакой устойчивости. Любая неоднородность в мгновение ока порождает еще большую неоднородность .... В общем - "ужасная" задача.
Вывод: проверьте еще раз знаки в Вашем уравнении.

[Non80]

Что же касается знака, то тут все просто и нет ошибки. Есть поток вещества в направлении стенки за счет сил, а следовательно диффузия будет направлена противоположно... Другое дело, что данная задача должна обладать симметрией, т.е. можно заменить систему координат так, что суммарный поток будет отрицательным, но на решении это не скажется и тогда знаки поменяются, но я не пойму как это может помочь?
$ U(x,t)_t=aU(x,t)_x_x-b(1-\frac{cU(x_0,t)}{d-cU(x_0,t)})U(x,t)_x$

-- Чт май 26, 2011 14:26:01 --

sup в сообщении #450361 писал(а):

Скорее всего, Вы и численно ничего не получите. Там, если так можно выразиться, чудовищная неустойчивость. Это как раз то, что называют "некорректные задачи". Я, все же, склонен считать, что Вы что-то напутали. Типичная диффузия описывается "нормальным" уравнением теплопроводности.
$U_t - U_{xx}=f$
По сути, есть некая концентрация чего-то-там. Вещество диффундирует, концентрация меняется со временем. Задача - выяснить, как это все протекает во времени. У Вас присутствует еще и некий "демон Максвелла", который сидит на стенке и как-то влияет на диффузию. Ну, это можно понять. К слову, даже не будучи физиком или химиком, можно сообразить, что вещество будет как-то расплываться, концентрация будет более или менее выравниваться и тд.
Но вот Вы случайно перепутали знак и получили
$U_t + U_{xx}=f$
И все сразу стало плохо. Это то же самое, что рассматривать кинопленку с диффузией в обратном направлении. Вещество начинает магическим образом кластеризоваться вопреки энтропийным соображениям. С математической точки зрения эта задача плохая. Там в принципе нет и не может быть никакой устойчивости. Любая неоднородность в мгновение ока порождает еще большую неоднородность .... В общем - "ужасная" задача.
Вывод: проверьте еще раз знаки в Вашем уравнении.

Численно задачу, сформулированную мною здесь решают и весьма успешно.

[sup]

У меня такое ощущение, что мы говорим о разных вещах. Ну вот нет никаких сил. Какое будет уравнение для диффузии? Может ли оно быть
$U_t+U_{xx}=0$
Речь идет именно о знаке константы $a$. Знак констант $b,c,d$ не очень важен. Вы пишете
$U_t=-aU_{xx}+f$,
или по другому
$U_t+aU_{xx}=f$
Так вот вопрос: может ли здесь быть $a=1$?
У меня есть серьёзные основания считать, что это невозможно. Именно поэтому я и спрашиваю, как бы Вы не напутали со знаками.
Достаточно поставить (где $a>0$)
$U_t-aU_{xx}=b(....)$
и у меня не будет больше вопросов. Может для Вас это и странно, что все дело в знаке перед $U_{xx}$, но это крайне важно.

[Non80]

sup в сообщении #450485 писал(а):

У меня такое ощущение, что мы говорим о разных вещах. Ну вот нет никаких сил. Какое будет уравнение для диффузии? Может ли оно быть
$U_t+U_{xx}=0$
Речь идет именно о знаке константы $a$. Знак констант $b,c,d$ не очень важен. Вы пишете
$U_t=-aU_{xx}+f$,
или по другому
$U_t+aU_{xx}=f$
Так вот вопрос: может ли здесь быть $a=1$?
У меня есть серьёзные основания считать, что это невозможно. Именно поэтому я и спрашиваю, как бы Вы не напутали со знаками.
Достаточно поставить (где $a>0$)
$U_t-aU_{xx}=b(....)$
и у меня не будет больше вопросов. Может для Вас это и странно, что все дело в знаке перед $U_{xx}$, но это крайне важно.

Если нет сил то не может, Вы правы. Но в данном случае со знаками все нормально. Но перед $U_{xx}$ знак можно поменять вместе со знаком перед $U_{x}$.
Извините, еще вопрос, а почему вы представляете слагаемое с производной по x в исходном уравнении как функцию $U_t=-aU_{xx}+f$?

-- Пт май 27, 2011 10:19:53 --

Дело все в том что при наличии силы будет два потока - под действием силы и противоположно направленный, стремящийся уравнять концентрации веществ - диффузионный. Они будут направлены в разные стороны. Как известно, изменение концентрации во времени есть ни что иное, как градиент суммарного потока.

[Oleg Zubelevich]

sup

(Оффтоп)

не связывайтесь, бесполезно

[sup]

Ну что ж, Вам виднее, что там со знаками. В любом случае, на аналитическое решение расчитывать не стоит.

(Оффтоп)

Non80 в сообщении #450693 писал(а):

Извините, еще вопрос, а почему вы представляете слагаемое с производной по x в исходном уравнении как функцию $U_t=-aU_{xx}+f$?

Да просто для простоты записи. Локально по времени, принципиального значения это слагаемое не имеет.

Non80 в сообщении #450693 писал(а):

Если нет сил то не может, Вы правы
....
Но перед $U_{xx}$ знак можно поменять вместе со знаком перед $U_{x}$.

Интересно у Вас получается, если силы есть, то знак перед $U_{xx}$ поменять можно, а если сил нет - то нельзя. Если я Вас правильно понял, то знак Вы "можете поменять" изменив направление оси $x$. При этом знак перед $U_{x}$ действительно изменится. А вот знак перед $U_{xx}$ НЕ ИЗМЕНИТСЯ. И вот когда Вы будете численно решать Вашу задачу, можете просто из любопытства попробовать изменить знак и посмотреть, что из этого выйдет. Думаю, ничего хорошего.

[Non80]

Есть два разнонаправленных потока вещества - первое слагаемое и второе. Какой из них принимать положительным, а какой отрицательным, при условии замкнутости системы не имеет значения, так что если вас смущает только знак перед второй производной, то можете его считать положительным, но второй будет отрицательным. Задача уверен решаема численно на 100%. Наблюдал схожие задачи в аналитическом виде, однако без члена $ (1-\frac{cU(x_0,t)}{d-cU(x_0,t)})$.

[Joker_vD]

Есть подозрение, что вы просто неаккуратно провели вывод уравнения.

[Non80]

sup в сообщении #450716 писал(а):

Ну что ж, Вам виднее, что там со знаками. В любом случае, на аналитическое решение расчитывать не стоит.

(Оффтоп)

Non80 в сообщении #450693 писал(а):

Извините, еще вопрос, а почему вы представляете слагаемое с производной по x в исходном уравнении как функцию $U_t=-aU_{xx}+f$?

Да просто для простоты записи. Локально по времени, принципиального значения это слагаемое не имеет.

Non80 в сообщении #450693 писал(а):

Если нет сил то не может, Вы правы
....
Но перед $U_{xx}$ знак можно поменять вместе со знаком перед $U_{x}$.

Интересно у Вас получается, если силы есть, то знак перед $U_{xx}$ поменять можно, а если сил нет - то нельзя. Если я Вас правильно понял, то знак Вы "можете поменять" изменив направление оси $x$. При этом знак перед $U_{x}$ действительно изменится. А вот знак перед $U_{xx}$ НЕ ИЗМЕНИТСЯ. И вот когда Вы будете численно решать Вашу задачу, можете просто из любопытства попробовать изменить знак и посмотреть, что из этого выйдет. Думаю, ничего хорошего.

Да, простите меня! Знаки и правда в первом случае плюс во втором минус!