про бесконечно дифееренцируемую функцию

[zluka]

Существует ли бесконечно дифференцируема функция, такая что она ни в какой окрестности точки а из своей области определения ее ряд Тейлора сходится но отличается от значения в этой точке а?
Вот например в одной точке так можно
$f=e^{-\frac{1}{x^2}}$
доопределенная в 0 нулем.

[мат-ламер]

Цитата:

такая что она ни в какой окрестности точки а из своей области определения ее ряд Тейлора сходится

Можно это как-то другими словами, по-проще.

[zluka]

то есть в любой точке a ряд тейлора существует, но сумма это ряда не совпадает с f(x) где x лежит в окрестности а
например для
$f=e^{-\frac{1}{x^2}}$
ряд тейлора в точке 0 равен 0. (все производные f обнуляются) но ни в какой окрестности 0 f(x) не равна 0.

[ИСН]

Ну вот же: ряд тейлора в 0 существует в любой точке, и...

-- Ср, 2011-05-18, 22:54 --

...Вы уже поняли, что для ряда Тейлора понятие "в точке" несколько двусмысленно?

[мат-ламер]

zluka в сообщении #447375 писал(а):

то есть в любой точке a ряд тейлора существует, но сумма это ряда не совпадает с f(a)

или с $f(x)$?

[zluka]

Но мне то хочется, чтобы множество таких точек было как можно ближе к области определения. (например второй категории)
___
ИСН Я не понял про какую двусмысленность идет речь(

-- Ср май 18, 2011 23:36:21 --

Да. Там опечатка. С f(x).

[Taus]

zluka в сообщении #447403 писал(а):

ИСН Я не понял про какую двусмысленность идет речь(

О разложении в точке и значении в точке.

[Kallikanzarid]

Ряд Тейлора $T(f)|_x(y) := \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{(n)}(x)}{n!}y^n$ очевидно обладает свойством $T(f)|_x(0) \equiv f(x)$, так что спрашивать надо про проколотую окрестность

[gris]

Что если взять несколько(счётно) таких функций, сдвинутых по оси икс примерно в диапазоне единички, соответственно доопределённых, с коэффициентами из сходящегося ряда, да и поскладывать их все?

[zluka]

Увидел на просторах интернета вот такую функцию.
Действительно ли это то что надо?
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{cos(3^nx)}{n!}$

[Vince Diesel]

Функция будет из $C^\infty(\mathbb R)$ и не аналитическая ни в какой окрестности. Но почему будет сходиться ряд Тейлора хоть где-нибудь? В нуле, например, производная порядка $2m$ равна $(-1)^m e^{3^{2m}}$.

[zluka]

Поясните пожалуйста почему она не аналитическая?
И откуда у вас вылезла там экспонента? Просто вы там как-то ловко забили на знак и вытащили экспоненту, а я так не умею, поэтому, пожалуйста, покажите весь процесс.

[Vince Diesel]

Рассмотрим функцию $f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac {z^{3^n}}{n!}$. Еe действительная часть на единичной окружности и будет то что надо. Однако область аналитичности $f(z)$ это круг $|z|<1$ (никуда больше аналитически не продолжается). Если же ее действительная чаcть была бы аналитична в какой-то точке на окружности, то $f(z)$ была бы аналитической в некоторой окрестности этой точки.

Производная в нуле порядка $2m$ равна $(-1)^m \sum_{n=0}^\infty \frac{3^{2mn}}{n!}$.

[zluka]

Ловко.
Спасибо.