Найти радиус сходимости

[Ilnur]

Найти радиус сходимости ряда
1) $\sum \cos n \ z^n$
2) $\sum \sin n \ z^n$

1) $R=\lim\limits_{n \to \infty }}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim\limits_{n \to \infty }}|\frac{\cos n}{cos (n+1)}|=...$

2) $R=\lim\limits_{n \to \infty }}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim\limits_{n \to \infty }}|\frac{\sin n}{sin (n+1)}|=...$

а дальше не получается

[profrotter]

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}cos(n)z^n=\frac {1} {2}(\sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{in}z^n+\sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{-in}z^n)$
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(e^iz)}^n$ - полная сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем $q=e^iz$ и первым членом $1$

[ewert]

Вполне достаточно того, что ни косинус, ни синус от эн не стремятся к нулю.

[Ilnur]

profrotter в сообщении #449971 писал(а):

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}cos(n)z^n=\frac {1} {2}(\sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{in}z^n+\sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{-in}z^n)$
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(e^iz)}^n$ - полная сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем $q=e^iz$ и первым членом $1$

$R=1$ (в обоих примерах) ?

ewert в сообщении #449972 писал(а):

Вполне достаточно того, что ни косинус, ни синус от эн не стремятся к нулю.

т.е. пределы равны 1?

[ewert]

Ilnur в сообщении #449974 писал(а):

т.е. пределы равны 1?

Пределов вообще не существует. Правда, верхний предел модуля равен единице, но это надо доказывать. Только это всё ни к чему. Достаточно того, что из нестремления косинуса и синуса к нулю следует нестремление к нулю общего члена ряда при всех $|z|\geqslant1$ и, значит, расходимость; а при всех $|z|<1$ сходимость очевидна. Откуда Вам и радиус, и даже (в качестве бонуса) поведение на всей границе круга.

(конечно, и через формулу Эйлера тоже разумно, но там придётся кое-какие дополнительные заклинания произнести и не будет ясности с границей)

[Ilnur]

Спасибо!