Найти сумму ряда

[Vanchelsing]

Найти сумму ряда: $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{3 - n}}{{(n + 3)(n + 1)n}}} $
Получилось вот что: $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n + 3}}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{ - 2}}{{n + 1}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} } $
Я просто в этой теме не силен, как быть дальше? И еще вопрос, ряд суммы есть сумма рядов?

[nnosipov]

Vanchelsing в сообщении #449691 писал(а):

Найти сумму ряда: $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{3 - n}}{{(n + 3)(n + 1)n}}} $
Получилось вот что: $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n + 3}}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{ - 2}}{{n + 1}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} } $
Я просто в этой теме не силен, как быть дальше? И еще вопрос, ряд суммы есть сумма рядов?

Да, если ряды сходятся. Но в Вашем случае этого нет. Тем не менее, можно рассмотреть частичные суммы.

[gris]

Это хорошая идея разложить общий член на простейшие дроби.
А вот потом надо выписать несколько первых членов ряда и посмотреть, что там сократится после раскрытия скобок, которое в данном случае можно сделать, так как ряд абсолютно сходится.
Ну и через частичные суммы показать, что то, что не сократилось и будет суммой ряда.

[Vanchelsing]

Цитата:

Это хорошая идея разложить общий член на простейшие дроби.
А вот потом надо выписать несколько первых членов ряда и посмотреть, что там сократится после раскрытия скобок, которое в данном случае можно сделать, так как ряд абсолютно сходится.
Ну и через частичные суммы показать, что то, что не сократилось и будет суммой ряда.

Нашел первые штук 15 частичных сумм, сложил их, сокращаются, но очень туго...что можете посоветовать? до конца их выписывать думаю долго)

[Dan B-Yallay]

Vanchelsing в сообщении #449720 писал(а):

Цитата:

Это хорошая идея разложить общий член на простейшие дроби.
А вот потом надо выписать несколько первых членов ряда и посмотреть, что там сократится после раскрытия скобок, которое в данном случае можно сделать, так как ряд абсолютно сходится.
Ну и через частичные суммы показать, что то, что не сократилось и будет суммой ряда.

Нашел первые штук 15 частичных сумм, сложил их, сокращаются, но очень туго...что можете посоветовать? до конца их выписывать думаю долго)

Проследить/доказать закономерность

[gris]

15 много. Достаточно 4-5:

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{3 - n}}{{(n + 3)(n + 1)n}}} =\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac1{n + 3} - \dfrac 2{n + 1} + \dfrac1{n}= $

$= \dfrac1{4} - \dfrac 2{2} + \dfrac1{1}+\quad \dfrac1{5} - \dfrac 2{3} + \dfrac1{2}+\quad \dfrac1{6} - \dfrac 2{4} + \dfrac1{3}+\quad \dfrac1{7} - \dfrac 2{5} + \dfrac1{4}+\quad \dfrac1{8} - \dfrac 2{6} + \dfrac1{5}+...$

Ну проще, конечно, написать упомянутые три ряда один под другим, чуть сдвинув первые два .

[Vanchelsing]

Всем большое спасибо, в итоге сумма равна $\frac{1}{6}$

[Praded]

Всё сводится к телескопическим рядам.