Будет ли классический анализ пересмотрен/переформулирован?

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #449141 писал(а):

элементы последовательностей от их пределов отличаем?

В данном случае -- нет. Дело в том, что мы принципиально можем производить любые вычисления (кроме дискретных) лишь приближённо. Т.е. говоря абстрактно о пределах -- мы практически имеем дело только с членами последовательностей. Именно на этой идее основан классический анализ, в отличие от нестандартного. И именно эта идея заложена в архитектуру компьютеров -- в том, что касается хранения и обработки вещественных данных.

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #449145 писал(а):

И именно эта идея заложена в архитектуру компьютеров -- в том, что касается хранения и обработки вещественных данных.

Ну не хранятся и не обрабатываются вещественные числа в компьютерах, что тут поделать?

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #449155 писал(а):

Ну не хранятся и не обрабатываются вещественные числа в компьютерах, что тут поделать?

Конструктивные действительные числа - суть формулы фундаментальных последовательностей, так что на компьютерах они могут храниться и обрабатываться (в виде алгоритмов). Что касается неконструктивных действительных чисел, то и классический анализ ничего конкретного по их поводу сказать не может, кроме того, что они существуют. Даже пример такового числа, насколько я знаю, неизвестен.

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #449160 писал(а):

Kallikanzarid в сообщении #449155 писал(а):

Ну не хранятся и не обрабатываются вещественные числа в компьютерах, что тут поделать?

Конструктивные действительные числа - суть формулы фундаментальных последовательностей, так что на компьютерах они могут храниться и обрабатываться (в виде алгоритмов). Что касается неконструктивных действительных чисел, то и классический анализ ничего конкретного по их поводу сказать не может, кроме того, что они существуют. Даже пример такового числа, насколько я знаю, неизвестен.

Это совсем другой вопрос.

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #449161 писал(а):

Это совсем другой вопрос.

Почему другой? Какая разница, как именно представлено число - формулой или конечным количеством цифр? Главное, что над числами можно выполнять арифметические операции. Причём результатом тоже будет формула последовательности, а значит мы сможем записать это число с точностью до любого количества десятичных (например) знаков. Т.е. то, о чём говорил ewert: практически мы имеем дело с членами последовательностей.

[Munin]

ewert в сообщении #449134 писал(а):

Т.е. могу уместить сколь угодно длинную.

Фактически так делают очень редко. Для фанатиков считать миллион знаков числа пи или синуса единицы. А реально умещают фиксированное число знаков, 32, 64 или 128 бит.

-- 23.05.2011 17:43:31 --

epros в сообщении #449160 писал(а):

так что на компьютерах они могут храниться и обрабатываться (в виде алгоритмов).

То, что они могут, не значит, что они так и делают. Вы не отвечаете на аргументы оппонентов, которые описывают, что на компьютерах делается фактически.

[ewert]

Munin в сообщении #449235 писал(а):

Фактически так делают очень редко.

Не имеет значения -- важен принцип.

Munin в сообщении #449235 писал(а):

А реально умещают фиксированное число знаков, 32, 64 или 128 бит.

128 -- это вряд ли. 48 и 80 -- дело другое.

[epros]

Munin в сообщении #449235 писал(а):

То, что они могут, не значит, что они так и делают. Вы не отвечаете на аргументы оппонентов, которые описывают, что на компьютерах делается фактически.

Именно что так и делают фактически. Например, квадратный корень реализуется на компьютере в виде программы вычисления оного по предъявленному аргументу. А если нужно узнать квадратный корень из двух, то подставляют двойку в качестве аргумента, и все дела. Разумеется, окончательно расчёт выполняется с точностью до соответствующего количества разрядов.

[Munin]

ewert в сообщении #449242 писал(а):

128 -- это вряд ли. 48 и 80 -- дело другое.

Это у вас сведения из каменного века. 80 - внутреннее интеловское представление, и поэтому его обходят, зажав нос, чтобы не вляпаться в непереносимость. При нехватке 64 используют 128, охваченные стандартом. 48 - вообще какая-то фантазия, не было такого никогда и нигде. (Может быть, на БЭСМ-6?..)

epros в сообщении #449252 писал(а):

Именно что так и делают фактически. Например, квадратный корень реализуется на компьютере в виде программы вычисления оного по предъявленному аргументу.

Только, к сожалению, в числах с фиксированной точностью. Так что это строго эквивалентно таблично заданной функции.

epros в сообщении #449252 писал(а):

Разумеется, окончательно расчёт выполняется с точностью до соответствующего количества разрядов.

Не "окончательно", а вообще.

-- 23.05.2011 19:21:55 --

Munin в сообщении #449267 писал(а):

При нехватке 64 используют 128

С другой стороны, 64 хватает почти всегда. Если не хватает 64, это значит, что "в консерватории что-то не так", и надо менять метод вычислений. Иначе ему сколько ни дай, всё равно хватать не будет. (Нехватка 32 была связана ещё с эффектами типа размера сетки, но на 64 они кончились.)

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #449267 писал(а):

Нехватка 32 была связана ещё с эффектами типа размера сетки, но на 64 они кончились.

При расчете с точностью порядка $10^{-8}$ задачи гидродинамической задачи методом SIMPLE с помощью BiCGStab мне не хватало и 64.

[ewert]

Munin в сообщении #449267 писал(а):

80 - внутреннее интеловское представление

А кроме интеловской архитектуры -- для массового пользователя, в общем, ничего и не существует.

Munin в сообщении #449267 писал(а):

48 - вообще какая-то фантазия, не было такого никогда и нигде.

Это -- один из стандартов борландовского Паскаля. Уж не знаю, откуда они это слизнули и для совместимости с чем. Но уж точно не с БЭСМ.

Munin в сообщении #449267 писал(а):

При нехватке 64 используют 128, охваченные стандартом.

Не видал такого стандарта. Это, конечно, не означает, что его не существует. Но означает, что он неупотребителен. Да Вы и сами ниже объяснили, почему.

Munin в сообщении #449267 писал(а):

Так что это строго эквивалентно таблично заданной функции.

Вовсе нет. Алгоритм -- это не таблица, это именно алгоритм. Применимый при желании к любой разрядности, достаточно её лишь нарастить. Так вот архитектура компьютера как раз и ориентирована на сколь угодное повышение разрядности -- по мере необходимости.

-- Пн май 23, 2011 20:31:31 --

Kallikanzarid в сообщении #449285 писал(а):

При расчете с точностью порядка $10^{-8}$ задачи гидродинамической задачи

Ну это уж и вовсе какая-то абстракция. Или десять в минус восьмой -- или гидродинамика, одно из двух.

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #449289 писал(а):

Ну это уж и вовсе какая-то абстракция. Или десять в минус восьмой -- или гидродинамика, одно из двух.

Про относительную погрешность раньше слышали?

[dmd]

Много ли людей понимают, что коэффициенты полинома функции меняются связно вместе с самой функцией? В этом понимании заключается если не весь анализ, то его основа, это точно. Любая нелинейная функция - это сложная динамичная система. В динамике находятся не только аргументы и сама функция, но и все аналитические характеристики. Если функция представляет собою многомерный бесконечный полином - то это сверх-сложная сверх-динамичная абстрактная система. Фишка состоит в том, что при правильном угле зрения вся динамика любой функции легконаблюдаема. Но не в классическом анализе, который функции изучает при помощи статичных снимков операторами дифференцирования и интегрирования. Сколько динамики вы нацедите в предельных теоремах? Исходно у предмета анализа - функций - динамичности на порядки больше, чем остаётся на выходе после классического анализа.

[Munin]

ewert в сообщении #449289 писал(а):

А кроме интеловской архитектуры -- для массового пользователя, в общем, ничего и не существует.

Вообразить не могу, что общего между компьютерными вычислениями и массовым пользователем. Вычисления делаются на той архитектуре, которая доступна, очень часто - на RISC-машинах и собранных из них кластерах, бывают и смешанные кластеры.

ewert в сообщении #449289 писал(а):

Это -- один из стандартов борландовского Паскаля.

Борландовский Паскаль - вещь, ещё меньше имеющая отношение к компьютерным вычислениям.

ewert в сообщении #449289 писал(а):

Не видал такого стандарта.

IEEE 754-2008.

ewert в сообщении #449289 писал(а):

Но означает, что он неупотребителен.

Он употребителен (в частности, все интелы ему удовлетворяют, начиная с сопроцессора 8087), это вы о нём не в курсе. Заявление ваше - на уровне "ASCII неупотребителен". IEEE-754 вездесущ.

ewert в сообщении #449289 писал(а):

Вовсе нет. Алгоритм -- это не таблица, это именно алгоритм. Применимый при желании к любой разрядности, достаточно её лишь нарастить.

Так вот, вы удивитесь, но квадратный корень в компьютерах считает не алгоритм, а реализация алгоритма. Которая, в отличие от самого алгоритма, конечной и фиксированной разрядности. И, повторяю, строго эквивалентна таблично заданной функции.

ewert в сообщении #449289 писал(а):

Так вот архитектура компьютера как раз и ориентирована на сколь угодное повышение разрядности -- по мере необходимости.

Это бред. Архитектура компьютера ориентирована на универсальность использования. Да, она позволяет повышать разрядность, но это только возможность, и ею не пользуются никогда. В каменном веке - пользовались. Потому что процессоры не позволяли работать с двойной и четверной точностью аппаратно.

-- 23.05.2011 22:27:02 --

dmd в сообщении #449323 писал(а):

коэффициенты полинома функции

А это что за зверь такой?

[epros]

Munin в сообщении #449267 писал(а):

Не "окончательно", а вообще.

Как раз окончательно расчёт выполняется с такой точностью, которая задана неявным аргументом - типом возвращаемого значения. И эта точность в принципе может быть ничем не ограничена, даже разрядностью процессора.