Есть задачка, которая вызвала много споров

[zbl]

Есть такая задачка:

На плоскости в поле силы тяжести лежит труба, а в ней в начальный момент времени в точке "9 часов" покоится стержень (задача "двумерная").
Найти закон движения стержня (просчитывается в элементарных функциях) и в частности ответить на вопрос: "Возможны ли колебания в такой системе?".
Под колебаниями понимается такое периодическое движение, в котором скорость и ускорение непрерывны по времени.
Радиус трубы R (или 1, если нравится), масса трубы M, масса стержня m.
Толщиной трубы, толщиной стрержня, силами трения скольжения и качения пренебречь.

После некоторых трений стабилизировались два варианта ответа на вопрос:
1) колебания будут;
2) колебаний нет, потому что быть не может.
Так как количества сторонников того и другого варианта на данный момент совпадают, хотелось бы узнать мнение по этому поводу как можно большего числа любителей решать задачки.

[AlexDem]

Стержень будет колебаться в вертикальной плоскости по синусоидальному закону. В пространстве точка, изображающая стержень будет описывать вроде сектор циклоиды - нечто похожее на букву V. Колебания затухающие из-за трения трубы об основу - она будет перекатываться влево-вправо. Обычный вроде маятник. Или тут есть какие-то тонкости?

[zbl]

AlexDem писал(а):

Стержень будет колебаться в вертикальной плоскости по синусоидальному закону. Колебания затухающие из-за трения трубы об основу - она будет перекатываться влево-вправо. Обычный вроде маятник. Или тут есть какие-то тонкости?

Трения никакого нет; и затухать ничего не будет; катиться -- тоже.
Периодическое движение, естественно, будет.
Вопрос в том будет ли "синусоидальный" закон (или что-либо в роде того), или же скорость будет иметь особенность (удар)?

[AlexDem]

zbl писал(а):

катиться -- тоже.

Добавил в первом сообщении про циклоиду. Труба будет перекатываться по плоскости, на которой лежит, а центр стержня описывать в пространстве циклоиду. Удара никакого не будет, поскольку проекция на вертикальную плоскость будет синусоидой.

Много раз наблюдал как труба перекатывается, никаких ударов не возникало. Вы - нет?

[zbl]

AlexDem писал(а):

Много раз наблюдал как труба перекатывается, никаких ударов не возникало. Вы - нет? :)

Перекатываться труба будет при наличии трения качения (или хотябы скольжения).
Здесь же трения вообще никакого нет: ни качения, ни скольжения; ни между трубой и плоскостью, ни между стержнем и трубой.
В таких условиях момент сил, приложенных к трубе, равен нулю, и труба вращаться не будет.
Она будет скользить вдоль плоскости.
Центр масс системы труба+стержень будет двигаться по вертикальной прямой вверх-вниз бесконечно долго.

Мнения о том будет ли удар, или нет разделились.
Привожу сокращённый вариант диалога:
Тупоконечники: "Лобовой расчёт показывает, что скорости стержня и трубы суть гладкие функции, ударов нет".
Остроконечники: "Если смотреть на центр масс, то он будет просто падать в поле силы тяжести, пока не достигнет низжей точки; в этот момент плоскость получит фтык; ответным фтыком система труба+стержень должна быть взъерошена; если удара нет (центр тяжести двигается по синусоиде), то выходит, что действие силы тяжести компенсируется какой-то другой силой; или объясните нам внятно, что это за сила такая, или считайте себя авторами гравицапы".
Т-ки: "Хмм... центробежная сила, какая-нибудь..."
О-ки: "Будь, или не будь? -- вот в чём вопрос"
Ну, и далее по кругу.

Вобщем-то, очень хотелось бы как-то пролить свет... как-то пустить новую струю... в дискуссию... так сказать...

[Андрей123]

Момент сил, приложенных к трубе не будет равным нулю, т.к. сила реакции стержня на трубу
создаёт ненулевой момент

[Антипка]

Андрей123 писал(а):

Момент сил, приложенных к трубе не будет равным нулю, т.к. сила реакции стержня на трубу
создаёт ненулевой момент

Это не так. Все реакции на трубу (со стороны груза и со стороны опоры) - нормальные, т.не. не создают момента относительно оси трубы. Следовательно, труба не будет вращаться относительно своей продольной оси.

[AlexDem]

zbl писал(а):

Перекатываться труба будет при наличии трения качения (или хотябы скольжения).
Здесь же трения вообще никакого нет: ни качения, ни скольжения; ни между трубой и плоскостью, ни между стержнем и трубой.

Просто когда говорят "силой трения пренебречь", то вроде подразумевают тепловыми потерями на трение, не меняя при этом закона движения системы в пространстве. Но не суть. Если мы будем рассматривать систему в системе отсчета, связанной с осью трубы, то сама опора будет совершать под трубой возвратно-поступательные движения...

Отсюда первое упрощение - опору можно выкинуть, ось соединить с трубой какими-нибудь спицами, а саму ось закрепить на подшипниках. Получили колесо, к одному из краев которого прикреплен груз.

Второе упрощение - ничего не изменится, если мы оставим груз на месте, а всю трубу стянем к оси (увеличим ее массу, чтобы момент инерции не пострадал). Получим 2 стержня, соединенные спицами, один из которых укреплен на оси.

Типичный маятник. Проекция силы, действующей на опору, в вертикальной плоскости будет меняться также по гармоническому закону - вес максимален в нижней точке и отсутствует в крайних. Но он меняется плавно, без скачков, так как по гармоническому закону...

Много раз качался на качелях, если бы у них были какие-нибудь особенности, то, видимо, отшиб бы себе чего-нибудь

[zbl]

AlexDem писал(а):

zbl писал(а):

Здесь же трения вообще никакого нет: ни качения, ни скольжения; ни между трубой и плоскостью, ни между стержнем и трубой.

Просто когда говорят "силой трения пренебречь", то вроде подразумевают тепловыми потерями на трение, не меняя при этом закона движения системы в пространстве.

Вот это я такой терминологии не слышал никогда...
А вот дальнейшее очень интересно, надо подумать.

[Андрей123]

Да, извините, с моментом ошибся. Если я опять не ошибся, то получается следующая система уравнений движения
$(M+m)x''-mR(sin(f))''=0,Rf''-x''cos(f)+x'f'sin(f)=g sin(f)$
Здесь x- горизонтальная координата центра тяжести трубы, f-угол между радиус-векторо ц.м. стержня относительно ц.м. трубы и вертикалью.[/math]

[zbl]

AlexDem писал(а):

Если мы будем рассматривать систему в системе отсчета, связанной с осью трубы, то сама опора будет совершать под трубой возвратно-поступательные движения...

Отсюда первое упрощение - опору можно выкинуть, ось соединить с трубой какими-нибудь спицами, а саму ось закрепить на подшипниках. Получили колесо, к одному из краев которого прикреплен груз.

Система отсчёта, связанная с плоскостью инерциальная; СО, связанная с осью -- нет.
Предлагаете перейти из инерциальной системы в неинерциальную -- опасно...
Но не факт, что нельзя -- надо думать.

AlexDem писал(а):

Второе упрощение - ничего не изменится, если мы оставим груз на месте, а всю трубу стянем к оси (увеличим ее массу, чтобы момент инерции не пострадал). Получим 2 стержня, соединенные спицами, один из которых укреплен на оси.

Это совершенно эквивалентная формулировка, ничего не меняется.
В такой формулировке эта задача встречается в задачниках с ограничением малости углов.
Например, два колеса катятся по краям щели, а в ней болтается маятник.
Мне такая формулировка кажется менее удобной.

AlexDem писал(а):

Много раз качался на качелях, если бы у них были какие-нибудь особенности, то, видимо, отшиб бы себе чего-нибудь :)

А точка подвеса качелей могла двигаться?
А смазочка была достаточно ли жирна?
Вы попробуйте качели на спортивные брусья, смазанные жиром, повесить и покачаться, следя за очучениями.

[AlexDem]

zbl писал(а):

Система отсчёта, связанная с плоскостью инерциальная; СО, связанная с осью -- нет.
Предлагаете перейти из инерциальной системы в неинерциальную -- опасно...
Но не факт, что нельзя -- надо думать.

Нет, система отсчета, связанная с осью, не вращается вместе с ней. По оси трубы смотрит OZ, OY смотрит всегда вверх, OX - всегда вправо.

zbl писал(а):

А точка подвеса качелей могла двигаться?
А смазочка была достаточно ли жирна?

А качели я веревками привязывал к перекрытию По-моему, Вы все усложнить пытаетесь, когда надо упрощать. А еще лучше - возьмите пустую банку, приклейте чего-нибудь к ее стенке и проверьте

[zbl]

Андрей123 писал(а):

Да, извините, с моментом ошибся. Если я опять не ошибся, то получается следующая система уравнений движения
$(M+m)x''-mR(sin(f))''=0,Rf''-x''cos(f)+x'f'sin(f)=g sin(f)$
Здесь x- горизонтальная координата центра тяжести трубы, f-угол между радиус-векторо ц.м. стержня относительно ц.м. трубы и вертикалью.[/math]

Пользуясь правами автора темы (эдак сказанул! как), предлагаю, раз уж пошла какая-то пьянка, фиксировать обозначения и координаты.
На данный момент общепринятой (в узких кругах) является следующая:
1) СО, связанная с плоскостью, (инерциальная); декартова, (0,0) на плоскости в точке, где в начале стоит труба, OX -- вправо (труба пойдёт влево);
2) положение стержня задавать углом, (-pi/2,+pi/2), так что низшая точка для стержня -- это угол, равный нулю.

Пошёл учить тег math.
У меня ничерта не работает пока.

[Андрей123]

В итоге получается уравнение второго порядка, не содержащее t, можно понизить его порядок. Таким образом можно найти зависимость $f'$ от $f$

[Антипка]

На самом деле, задача эквивалентна задаче про математический маятник массой m на веревке длиной R, закрепленной на подвижной платформе массой M. Дифференциальные уравнения движения можно получить средствами аналитической механики, но "влом". Интеграл движения можно получить из законов сохранения - энергии и импульса:

$ \frac{m}{2}R^2 \dot \varphi ^2 (1 - \frac{m}{{m + M}}\cos ^2 \varphi ) = mgR(\cos \varphi - \cos \varphi _0 )$

$\varphi$ - угловое положение груза относительно центра трубы, в начальный момент по условию равно $-\pi/2$, для простоты ничего не сокращал.

Сомневаюсь, что оно разрешимо в элементарных функциях, но охотно признаю ошибку, если мне докажут обратное. Как видно, никакими "ударами" здесь и не пахнет, решение по всем признакам - гладкое. Но в случае M=0 очевидным образом получается некорректная задача. Оно и понятно: в этом случае грузик m движется по вертикальному отрезку и в самой низшей точке меняет направление движения на противоположное. В этот момент его мгновенная угловая скорость относительно центра трубы (подвеса в эквивалентной задаче) обращается в бесконечность. Некорректная задача она и есть некорректная задача.