Произведение абсцисс точек пересечения прямой и гиперболы

[Xenia1996]

Доказать, что произведение абсцисс точек пересечения прямой $y=k_1x+a$ и гиперболы $y=\frac{k_2}{x}$ зависит только от $k_1$ и $k_2$
($k_1, k_2 \ne 0$)

(Непонятки)

Там, на первый взгляд, всё просто.
$k_1x+a=\frac{k_2}{x} \rightarrow k_1x^2+ax=k_2 \rightarrow k_1x^2+ax-k_2=0$
По формуле Виета, искомое произведение равно $\frac{-k_2}{k_1}$
Но как же быть, например, в случае, когда гипербола лежит в нечётных квадрантах, а прямая - в чётных? Там же вообще нет точек пересечения!
Ах, да! Про дискриминант забыла.
Если он отрицателен, то точек пересечения нет.
А вот если он нулевой? Тут непонятки. Например, возьмём гиперболу $y=\frac{1}{x}$ и проведём две касатки касательные - одну через точку (1, 1), а вторую - через (-1, -1). Вот и контрпример нарисовался. Гипербола у нас одна и та же, касатки параллельны друг дружке, а произведение абсцисс - разное.

Короче, как это всё решать?

[ИСН]

За одного битого одну касательную два небитых пересечения дают.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #448877 писал(а):

За одного битого одну касательную два небитых пересечения дают.

Ну уж нет! Это у квадратного уравнения с нулевым дискриминантом два корня, равных друг другу.
А вот я, кажется, поняла, в чём ошиблась. Касатка не пересекает гиперболу, на то и касатка, чтоб касаться.

[ewert]

Xenia1996 в сообщении #448874 писал(а):

Доказать, что произведение абсцисс точек пересечения прямой $y=k_1x+a$ и гиперболы $y=\frac{k_2}{x}$ зависит только от $k_1$ и $k_2$

Где-то ходят какие-то слухи про теорему Виета...

[alex1910]

Xenia1996 в сообщении #448874 писал(а):

Доказать, что произведение абсцисс точек пересечения прямой $y=k_1x+a$ и гиперболы $y=\frac{k_2}{x}$ зависит только от $k_1$ и $k_2$
($k_1, k_2 \ne 0$)

(Непонятки)

Там, на первый взгляд, всё просто.
$k_1x+a=\frac{k_2}{x} \rightarrow k_1x^2+ax=k_2 \rightarrow k_1x^2+ax-k_2=0$
По формуле Виета, искомое произведение равно $\frac{-k_2}{k_1}$
Но как же быть, например, в случае, когда гипербола лежит в нечётных квадрантах, а прямая - в чётных? Там же вообще нет точек пересечения!
Ах, да! Про дискриминант забыла.
Если он отрицателен, то точек пересечения нет.
А вот если он нулевой? Тут непонятки. Например, возьмём гиперболу $y=\frac{1}{x}$ и проведём две касатки касательные - одну через точку (1, 1), а вторую - через (-1, -1). Вот и контрпример нарисовался. Гипербола у нас одна и та же, касатки параллельны друг дружке, а произведение абсцисс - разное.

Короче, как это всё решать?

Аналогичная задача - построить циркулем и линейкой ось симметрии параболы.