Замечательная "эллиптическая дуга" =)

[shur]

$$\begin{cases} x=6(2\cos t - \cos {2t})\\ y=6(2\sin t - \sin {2t})\\ \end{cases}$$

$$0<t<\pi$$

$$l=\int\limits_0^\pi \sqrt{{x'}^2(t) + {y'}^2(t)}dt$$

$$\begin{cases} x'(t)=12(\sin 2t + \sin{t})\\ y'(t)=12(\cos t - \cos {2t})\\ \end{cases}$$

$$l=\int\limits_0^\pi \sqrt{12^2(\sin 2t + \sin{t})^2+ 12^2(\cos t - \cos {2t})^2}dt=12\int\limits_0^\pi \sqrt{(\sin 2t + \sin{t})^2+(\cos t - \cos {2t})^2}dt$$

Далее квадраты синусов и косинусов вырождаются в единицы, а попарные произведения непобедимы...

Грозный Вольфрам говорит, что это эллиптический интеграл, но считает его)

А как-нибудь по-человечески он берется?))

[Алексей К.]

А Вы выражение под радикалом, максимально упрощённое, напишите.
А то у меня как бы всё просто получается.

-- 22 май 2011, 21:46 --

Фи, одна из производных неправильно взята, $x'_t$.

[shur]

Исправил)

$$\begin{cases} x=6(2\cos t - \cos {2t})\\ y=6(2\sin t - \sin {2t})\\ \end{cases}$$

$$0<t<\pi$$

$$l=\int\limits_0^\pi \sqrt{{x'}^2(t) + {y'}^2(t)}dt$$

$$\begin{cases} x'(t)=12(\sin 2t - \sin{t})\\ y'(t)=12(\cos t - \cos {2t})\\ \end{cases}$$

$$l=\int\limits_0^\pi \sqrt{12^2(\sin 2t - \sin{t})^2+ 12^2(\cos t - \cos {2t})^2}dt=12\int\limits_0^\pi \sqrt{(\sin 2t - \sin{t})^2+(\cos t - \cos {2t})^2}dt=$$

$$=12\int\limits_0^{\pi} \sqrt{\sin^2{2t} - 2\sin{t}\sin{2t}+\sin^2t+\cos^2t - 2\cos{2t}\cos{t}+\cos^2t}}}dt=$$

$$=12\int\limits_0^\pi \sqrt{2- 2\sin{t}\sin{2t}- 2\cos{2t}\cos{t}}dt=12\sqrt{2}\int\limits_0^\pi \sqrt{1- \sin{t}\sin{2t}- \cos{2t}\cos{t}}dt=$$

$$12\sqrt{2}\int\limits_0^\pi \sqrt{1- 2\sin^2{t}\cos{t}- (1-2\sin^2{t})\cos{t}}dt=$$

$$=12\sqrt{2}\int\limits_0^\pi \sqrt{1- 2\sin^2{t}\cos{t}- \cos{t}+2\sin^2{t}\cos{t}}dt=$$

$$=12\sqrt{2}\int\limits_0^\pi \sqrt{1- \cos{t}}dt=12\sqrt{2}\int\limits_0^\pi\sqrt{\cos^2(\frac{t}{2})+\sin^2(\frac{t}{2})-(\cos^2(\frac{t}{2})-\sin^2(\frac{t}{2}))}dt=$$

$$=12\sqrt{2}\int\limits_0^\pi\sqrt{2sin^2{(\frac{t}{2})}}dt=48\int\limits_0^{\pi/2} \sin {\frac{t}{2}}d(\frac{t}{2})=-48(\cos{\frac{\pi}2}-\cos({0}))=48$$

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #448957 писал(а):

А Вы выражение под радикалом, максимально упрощённое, напишите.

-- 22 май 2011, 22:19 --

$\cos(a-b)=\ldots$ Вам в помощь.

[shur]

Алексей К. в сообщении #448983 писал(а):

Алексей К. в сообщении #448957 писал(а):

А Вы выражение под радикалом, максимально упрощённое, напишите.

-- 22 май 2011, 22:19 --

$\cos(a-b)=\ldots$ Вам в помощь.

Спасибо, взялся, но ответ не совпал) А где эту формулу можно было применить?))

[Алексей К.]

Ну как это тэ в икс превратилось? И не взять ли его_пополам в скобочки?
$\sin^2 t/2\quad \sin^2(t/2)\quad\sin^2\frac{t}2$ ?

[shur]

Алексей К. в сообщении #448989 писал(а):

Ну как это тэ в икс превратилось? И не взять ли его_пополам в скобочки?
$\sin^2 t/2\quad \sin^2(t/2)\quad\sin^2\frac{t}2$ ?

[Алексей К.]

shur в сообщении #448988 писал(а):

А где эту формулу можно было применить?))

$1-\sin t\sin 2t -\cos t\cos 2t=1-(\underbrace{\sin t\sin 2t +\cos t\cos 2t}_{\displaystyle\cos(\underbrace{2t-t}_t)})$

[shur]

Алексей К. в сообщении #448994 писал(а):

shur в сообщении #448988 писал(а):

А где эту формулу можно было применить?))

$1-\sin t\sin 2t -\cos t\cos 2t=1-(\underbrace{\sin t\sin 2t +\cos t\cos 2t}_{\displaystyle\cos(\underbrace{2t-t}_t)})$

Исправил, но должно получиться другое))

[Алексей К.]

shur в сообщении #448995 писал(а):

но должно получиться другое

Я не утрудил себя пока перепроверкой всего, но что значит "должно" в Вашей фразе? Кто такое Е на Вашей картинке?

[shur]

Спасибо, что проверили)))
Это некий эллиптический интеграл второго рода (отсюда и название темы)
Тут подробнее написано) Ссылку нужно скопировать полностью, чтобы правильно открылось)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=INTEGRATE+sqrt%286^2%282cost-cos%282t%29%29^2%2B6^2%282sint-sin+%282t%29%29^2%29+from+0+to+pi

Только у них сервер временно перегружен)

[Алексей К.]

48 без понтов. В эллиптических понтах не разбираюсь. Просите модератора сменить название темы, и не будет проблем.

[shur]

Алексей К. в сообщении #449004 писал(а):

48 без понтов. В эллиптических понтах не разбираюсь. Просите модератора сменить название темы, и не будет проблем.

Спасибо большое! Да, я тоже не разбираюсь=)

[Алексей К.]

Так Вы этому серверу Вашему неправильный интеграл запендюрили! $\sqrt{x^2+y^2}$ вместо $\sqrt{{x'_t}^2+{y'_t}^2}$. Вот он и грохнулся... Он же тоже не железный. Там на самом деле чувачки живые сидят, это всё обман.

[ShMaxG]

shur
Вольфрам у меня правильно посчитал:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=12+*+sqrt%28+%28sin%282*x%29-sin%28x%29%29^2+%2B+%28cos%28x%29+-+cos%282*x%29%29^2+%29[/url]

Смотрите там в конце, "Definite integral over a half-period".