Найти области р. сходимости функ. ряда в зав-ти от параметра

[Ruzveld]

$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{|x|^p}{n}(1+\frac1n+x)^n$

Я решал так:
Очевидно, что при $x\in(-\infty; -2)\cup(0; \infty)$ равномерной сходимости нет независимо от p, так как скобка начнет очень быстро возрастать
Кроме того, опять же для всех p, если отступить от -2 и 0 внутрь интервала (-2; 0), то ряд будет равномерно сходиться.
Поэтому, осталось только рассмотреть поведение ряда в точках 0 и -2
В нуле для всех неотрицательных p ряд представляет из себя сумму нулей, поэтому ноль включается в интервал сходимости для $p\ge0$
Преобразуем ряд для случая, когда х=-2:

$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^p}{n}(-1+\frac1n)^n = \sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n \frac{2^p}{n} (1-\frac1n)^n$

Рассмотрим последовательность $\frac{2^p}{n} (1-\frac1n)^n$: первый множитель монотонно стремится к нулю, второй — монотонно к $\frac1e$, сама последовательность неотрицательная, поэтому она монотонно невозрастает, кроме того её предел равен нулю, а этого достаточно, по признаку Лейбница, для сходимости ряда (все сказанное верно для любого р).
Значит, остаток ряда $r_N$, начиная с некоторого N бесконечно мал, отсюда, по признаку Коши ряд сходится равномерно

Получили ответ:
$x\in[-2; 0]$, если $p\ge0$;
$x\in[-2; 0)$, если $p<0$.

Есть ли какие-нибудь ошибки в моем решении?