на использование спектральной теории
Да. Спектр компактного оператора -- это набор не более чем счётного числа изолированных собственных чисел плюс точка ноль.
Оператор

может быть необратимым, только если

-- точка спектра оператора

.
Если это ненулевое собственное число, то достаточно прибавить к

оператор

с любым

, меньшим, чем расстояние до всех остальных собственных чисел и до нуля.
Если

, то

не попадает на спектр при
некоторых сколь угодно малых положительных значениях просто потому, что множество точек спектра не более чем счётно.