Задача о приближении оператора обратимым.

[Melinda]

Помогите, пожалуйста. Есть задача:
В комплексном банаховом пространстве задан оператор К-компактный. Рассматривается оператор А=К+Ik, где I-тождественный, а k-любое комплексное число. Требуется доказать, что для любого e>0 существует оператор В-обратимый, такой, что ||A-B||<e.

Задача, как мне кажется, на использование спектральной теории, но я никак не могу придумать, как к ней подойти.

[ewert]

Melinda в сообщении #448813 писал(а):

на использование спектральной теории

Да. Спектр компактного оператора -- это набор не более чем счётного числа изолированных собственных чисел плюс точка ноль.

Оператор $A=K+kI$ может быть необратимым, только если $(-k)$ -- точка спектра оператора $K$.

Если это ненулевое собственное число, то достаточно прибавить к $A$ оператор $\varepsilon I$ с любым $\varepsilon$, меньшим, чем расстояние до всех остальных собственных чисел и до нуля.

Если $k=0$, то $\varepsilon$ не попадает на спектр при некоторых сколь угодно малых положительных значениях просто потому, что множество точек спектра не более чем счётно.

[Melinda]

Спасибо большое!