Функциональное уравнение

[RIP]

Найти все функции $f\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$(где $\mathbb{R}_+=(0;+\infty)$), удовлетворяющие тождеству

$$f(f(f(x)))+4x=f(5x),\quad x\in\mathbb{R}_+,$$

и условию

$$\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0.$$

[Юстас]

Видимо автору пора давать подсказку

[RIP]

Хорошо, вот подсказка:
Это очень легкая задача

[Capella]

Чего-то я не врубаюсь, но похоже

$$f(x) = x$$

Дело в том, что у линейной функции

$$f(cx) = c \cdot f(x)$$

, поэтому подразумевая линейность можно вынести константу...

[RIP]

Capella, а кто сказал, что функция линейна?
Ладно, вот подсказка посущественней. Используйте то, что $f(x)>0$.

[maxal]

Сначала получаем $f(5x)\geq 4x,$ т.е. $f(x)\geq \alpha_1 x,$ где $\alpha_1=\frac{4}{5}.$
Затем, получаем $f(5x)\geq 4x + \alpha_1^3 x,$ и поэтому $f(x)\geq \alpha_2 x,$ где $\alpha_2 = \frac{4 + \alpha_1^3}{5}.$ Определим последовательность $\alpha_{k+1}= \frac{4 + \alpha_k^3}{5},$ так что $f(x)\geq \alpha_k x$ для всех $k.$
По индукции нетрудно показать, что последовательность $\alpha_k$ возрастает, но из того, что $\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0,$ следует, что $\alpha_k \leq 1.$ Поэтому последовательность $\alpha_k$ имеет предел, который мы обозначим $\alpha,$ и этот предел удовлетворяет уравнению $\alpha = \frac{4 + \alpha^3}{5},$ откуда $\alpha=1.$ Получаем, что $f(x) \geq x.$ Но если для какого-то $x_0$ разность $d=f(x_0) - x_0>0,$ то $f(5x_0)-5x_0\geq d$ и вообще $f(5^k x_0)- 5^k x_0\geq d,$ что противоречит $\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0.$
Поэтому $f(x)=x$ - единственное решение.

[RIP]

По индукции же легко показать, что $\alpha_k<1.$
Но, конечно, все верно.

Добавлено спустя 1 час 38 минут 53 секунды:

2Maxal
Просто интереса ради. Вы по подсказке догадались или сами?

[maxal]

Я начал решать уже после того, как ваша подсказка появилась. Затрудняюсь сказать, насколько она повлияла на ход решения.