Итерации

[Lion]

Предлагаю следующую простую задачу.
Пусть $x_1=2$, $y_1=4$, $z_1=6/7$. Положим $x_{n+1}=\frac{2x_n}{x_n^2-1}$, $y_{n+1}=\frac{2y_n}{y_n^2-1}$, $z_{n+1}=\frac{2z_n}{z_n^2-1}$ при $n\ge 1$. Докажите, что при всех натуральных n $x_n+y_n+z_n\neq 0$.

[RIP]

Во-первых, $x_n,y_n,z_n$ рациональны, поэтому все определены (уравнение $\frac{2x}{x^2-1}=\pm1$ не имеет рациональных корней). По индукции легко проверить, что

$$x_n+y_n+z_n=x_ny_nz_n\ne0$$

[Lion]

Я же говорил, что это простая задача.