Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

[matod]

На одном из форумов попался вопрос, содржащий "школьную" задачку. Дано: Длина дуги части окружности $L$, а длина хорды, на которую опирается эта дуга равна $I$. Найти радиус $R$ окружности.

Вначале, все было хорошо и просто. Провел радиус из центра $O$ к концу дуги $OA=R$, а так же радиус, перпендикулярный хорде
$AB$, который пересек хорду в точке $K$, образуя прямоугольный треугольник $OKA$. Катет $AK=I/2$.
Угол при вершине O обозначил как $x$. По определению синуса получил, что
$I/2=R*sin(x)$ или $I=2*R*sin(x)$ (1)
А из формулы длины дуги, получил $L=2*x*R$ или $2*R=L/x$ (2)
(2x потому, что $x$ - половина центрального угла рассматирваемой дуги).

Подстставляем в (1) вместо $2*R$ выражение, полученное из (2): $I=(L/x)*sin(x)$ или
$sin(x)/x = k$, где $k=I/L$

Ну, вот тут и заминочка вышла. Как найти $x$ по заданному $k$?
На практике, конечно нет проблем. В зависимости от точности либо найти значение графически, либо использовать один
из приближенных методов. Но возникает вопрос, есть ли аналитическое решение? Т.е. можно ли выразить $x$ через
элементарные функции от $k$. Причем, функция интересует нас только при $x$ от 0 до пи.

Есть предположение, что это невозможно. Так ли это? Можно ли это доказать?

[ewert]

matod в сообщении #445309 писал(а):

Т.е. можно ли выразить $x$ через
элементарные функции от $k$.

Нельзя, естественно.

[matod]

Почему?
Точнее, из чего это следует?

[Alphawell]

Послушайте, мне эта задача не дает покоя, может я и троешник, но мне все равно интересно, вот посмотрите как я предлагаю решить (но не могу):
Введем следующие обозначения:
L - длина дуги;
a - ее центральный угол;
r - радиус окружности;
A - длина хорды;
Из формулы длины дуги получаем уравнение:
L = 2*Pi*r*(a/360) (1)
Рассмотрим треугольник, образующийся при построении радиусов к крайним точкам хорды, по теореме косинусов:
sqr(A) = 2*sqr(r)-2*sqr(r)*cosa (2)
Получили систему из 2х уравнений с 2мя неизвестными

Решая (1) относительно r получим:
r=L/(2*Pi*(a/360))

Подставим это уравнение в (2), после преобразований получим:

2L-2Lcosa-sqr(a)*2*Pi*(a/360)=0

я не знаю как решить это уравнение, помогите плиз, дайте хотя бы совет.

Заранее всех благодарю.

[gris]

Даже такое простое уравнение, как $\cos x=x$ не решается аналитически при использовании стандартного набора элементарных функций. Такого решения не существует принципиально. Это доказано. Как невозможно решить задачу трисекции угла циркулем и линейкой. Не то, чтобы решения пока не нашли, а строго доказали, что нельзя найти.
Но существуют трисекторы — специальные устройства, с помощью которых угол успешно делится.
Так и тут. Существуют специальные методы и специальные функции, с помощью которых Ваше уравнение решается (в определённом смысле).
Но вот решения в виде формулы с косинусами, арккосинусами, корнями, дробями, логарифмами не существует. Нужны новые функции.

Да чего там далеко ходить.
Например, $\sqrt 2$ нельзя точно представить в виде обыкновенной дроби. Как ни пробовали — не получается. Но потом доказали строго, что нельзя.

[Joker_vD]

gris в сообщении #448221 писал(а):

Такого решения не существует принципиально. Это доказано.

Кстати, а через какую степь это доказывали?

[Alphawell]

Хмм.. а другие варианты аналитического решения такой задачи имеются?

[AKM]

gris в сообщении #448221 писал(а):

Существуют специальные методы и специальные функции, с помощью которых Ваше уравнение решается (в определённом смысле).
Но вот решения в виде формулы с косинусами, арккосинусами, корнями, дробями, логарифмами не существует. Нужны новые функции.

Alphawell в сообщении #448262 писал(а):

Хмм.. а другие варианты аналитического решения такой задачи имеются?

Какие — другие?

Alphawell,

Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).

[gris]

$L = 2\pi r (a/360)$

$2L-2L\cos a-\sqrt a\cdot 2\pi(a/360)=0$

$L = 2\pi r (a/360); 2L-2L\cos a-\sqrt a\cdot 2\pi(a/360)=0$

Без революционного введения новых функций — никак. Я имел в виду разнообразные численные методы. Но это, да, неинтересно. Иногда нужно именно аналитическое решение, но вот его не существует.

[matod]

gris в сообщении #448221 писал(а):

Так и тут. Существуют специальные методы и специальные функции, с помощью которых Ваше уравнение решается (в определённом смысле).
Но вот решения в виде формулы с косинусами, арккосинусами, корнями, дробями, логарифмами не существует. Нужны новые функции.

Спасибо за подробное объяснение. Вы подтвердили мои предположения.
Про то, что существуют функции, которые нельзя выразить композицией элементарных, про иррациональные числа и разные методы решения уравнений мне известно.

Единственное, что мне было непонятно, как доказываются подобные утверждения. Точнее, как можно доказать, что обратная для $sin(x)/x$ является такой функцией. Может, существует какой-то общий метод или известно доказательство этого частного случая? Ведь вы же точно знаете, что уравнение не разрешимо относительно х, а не просто предполагаете, что это так... Вот, собственно, в чем мой основной вопрос заключался.

[gris]

Тогда пардон. Я думал, что Вас интересует именно конкретная формула для радиуса через длины дуги и стягивающей хорды.
Вопросы разрешимости разных трансцендентных уравнений или выражения обратной функции в элементарных, интегрируемости, спецфункций относятся, по моему, к дифференциальной алгебре. Начала у Галуа, Лиувилля, Ритта. Но я с этим делом знаком чисто исторически, так что может быть кто из авторитетов даст дельный совет.
Мне вот запало в голову, что уравнение в виде линейной комбинации элементарных функций разного вида не разрешимо в замкнутой форме, а доказательство или даже ссылка на него, увы, за пределами.
(Имею в виду уравнения вида $x-8\sin x=0;\,\ln x+x=3$ и т.п.)

[matod]

Gris, спасибо большое. Действительно припоминается какая-то теорема насчет линейной формы...
С авторами и ключевыми словами думаю что я смогу удовлетворить свое любопытство.


Конкретная формула интересовала не меня, там вопрос был практический, поэтому я предложил автору дальше решить графически. Здесь задачу привел полностью с двумя целями:
1) На всякий случай, чтобы проверить правильность своего вывода.
2) С целью показать, откуда появилась задача.

Если найду ответ на свой вопрос - здесь отпишусь.