2010 делителей

[Xenia1996]

Предыдущая задача, видимо, не всем по зубам (во всяком случае, покамест), посему в качестве утешительной даю следующую:

Найти все натуральные числа, кратные 2010 и имеющие ровно 2010 различных натуральных делителей (все эти числа можно не выписывать, достаточно сказать, сколько их всего и обосновать ответ).

[ИСН]

Протестую! Боян! Давайте лучше считать те, которые делятся на 2011 и делителей у них тоже 2011. О! я уже посчитал. Их одно, но большо-о-о-ое, собака!

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #447839 писал(а):

Протестую! Боян! Давайте лучше считать те, которые делятся на 2011 и делителей у них тоже 2011. О! я уже посчитал. Их одно, но большо-о-о-ое, собака!

Если эта задача уже обсуждалась на форуме, я её снимаю. Только ссылочку извольте потрудиться предоставить.

[ИСН]

Здесь "боян" применено в смысле "было год назад". Ну правда, 2010 же, чо.
На форуме-то такой задачи не было.

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #447816 писал(а):

Предыдущая задача, видимо, не всем по зубам (во всяком случае, покамест), посему в качестве утешительной даю следующую:

Найти все натуральные числа, кратные 2010 и имеющие ровно 2010 различных натуральных делителей (все эти числа можно не выписывать, достаточно сказать, сколько их всего и обосновать ответ).

Эта утешительная задача какая-то скучная. Хотя у нас скоро ЕГЭ, так что сгодится школярам для тренировки.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #447857 писал(а):

Эта утешительная задача какая-то скучная. Хотя у нас скоро ЕГЭ, так что сгодится школярам для тренировки.

Может и скучная, но в "Кванте" была (правда, с числом 30 вместо 2010).

(Оффтоп)

В жизни любой девочки наступает период, когда она уже слишком взрослая для игры в куклы, но ещё слишком маленькая для того, чтобы выйти замуж.
Вот так и у меня сейчас. Эта задачка - слишком лёгкая, а вот эта - слишком трудная.

[zhekas]

$4!$

[Lunatik]

$2010=2*3*5*67$
Значит число $x={p_1}^{1}*{p_2}^{2}*{p_3}^{4}*{p_4}^{66}$. А раз и само число $x$ делится на 2010, то оно содержит все 4 делителя числа 2010. Учитывая перестановки получаем, что кол-во способов равно $4!=24$. Поправьте, если что не так.

[ИСН]

Lunatik, Ваше "значит" нуждается в обосновании - а то мало ли, вдруг $x=p^{2009}$, это тоже дало бы 2010 делителей (фактически так не будет, но надо пояснить, почему).
В остальном всё вроде так.

(Оффтоп)

Боюсь теперь делать категорические утверждения. Мало ли кто там стоит за углом. Давеча в списке тем померещилось: "теорема Ксюши-Ковалевской". Вздрогнул, протёр глаза...

[Lunatik]

Ммда, забыл... Т. к. число x имеет 4 делителя (простые делители 2010), то в его разложении дожно быть не менее 4 различных простых чисел. С другой стороны число x разлагается не более, чем на 4 делителя (делители 2010 без единички). Поэтому число x имеет 4 делителя, а каких - уже понятно...