Неавтономная линейная система

[Gortaur]

Есть система вида

$$ \dot{p} = r, $$

$$ \dot{q} = -\frac{\alpha}{2}p + \frac{1}{2}r, $$

$$ \dot{r} = (\beta +\gamma \mathrm{e}^{kt})p+\delta \mathrm{e}^{kt}q. $$

Есть ли возможность найти решение данной системы? У меня идей нет, а Математика не берет.

[Shtirlic]

На первый взгляд в голову приходит самый тупой способ:
Из этих трех уравнений делаем одно, относительно одной функции и решаем.
Например:
Дифференцируем третье уравнение, подставляем в него 1 и 2 уравнения, далее опять дифференцируем и подставляем опять первое уравнение.
В итоге получаем уравнение 3-й степени относительно $r$.
Правда не знаю насколько оно решаемо, возможно вы так уже делали.

[Gortaur]

Во-первых, есть сомнения, что так получится - т.к. есть функция от $t$, то при дифференцировании всегда будут оставаться $p,q$. Во-вторых, не уверен, что уравнение третьей степени будет лучше линейной системы - для последних хоть методы более или менее развиты. Просто раз экспоненты есть, может можно подобрать решение как-нибудь...

[sup]

Можно применить преобразование Лапласа и получить уравнение вида
$ \hat r (s)=A(s)\hat r (s-k) +B(s)$,
где $A(s),B(s)$ довольно простые дробно-рациональные выражения. После этого вылезет $\Gamma$- функция ... с туманными перспективами. Но мимо такого рекуррентного уравнения повидимому не пройти.

[Gortaur]

sup
К сожалению, в таком методе решения ДУ ни разу не было ни теории, ни практики.

[sup]

Ну какая тут теория. Вроде бы это называется символический метод или метод Хевисайда (не поручусь). Суть простая. Умножим каждое из уравнение на $e^{-st}$ и проинтегрируем от 0 до $\infty$. Получим
$s \hat p(s) - p_0 = \hat r(s)$
$s \hat q(s) - q_0 = 1/2(\hat r(s) - \alpha )\hat r(s)$
$s \hat r(s) - r_0 = \beta\hat p(s) + \gamma\hat p(s-k)+ \delta\hat q(s-k)$
Из первых двух уравнений выражаем $\hat p,\hat q$ через $\hat r$ и подставляем в третье.
Возникнет уравнение, о котором я говорил. Далее можно сделать замену $s=kz$ чтобы смещение аргумента приравнять к 1. С этим уравнением уже можно "повозиться" и получить решение в виде некого ряда.
Шансы получить точное решение исходного уравнения весьма невелики. Но, возможно, получится некое интегральное представление.

[Gortaur]

Это я так симметрии ищу )
Мне потом это надо будет использовать, чтобы найти решение другого уравнения. Так что если тут не получается аналитически, значит попа.

[Shtirlic]

$$ \dot{p} = r, $$

$$ \dot{q} = -\frac{\alpha}{2}p + \frac{1}{2}r, $$

$$ \dot{r} = (\beta +\gamma \mathrm{e}^{kt})p+\delta \mathrm{e}^{kt}q. $$

$$ q' = -\frac{\alpha}{2}p + \frac{1}{2}p',(1) $$

$$ p'' = (\beta +\gamma \mathrm{e}^{kt})p+\delta \mathrm{e}^{kt}q $$

$$ q=\frac{p''-(\beta +\gamma \mathrm{e}^{kt})p}{\delta \mathrm{e}^{kt}} (2) $$

Далее дифференцируем (2), подставляем $q'$ в (1) и получаем линейное дифферециальное уравнение 3-го порядка. Насколько я помню есть теория их решения.

[Gortaur]

Ага, ну если так - то берет через гипергеометрические функции. Все равно, боюсь, замену это не поможет сделать. С другой стороны, по крайней мере знаю, что других решений точно нет. Спасибо, можно закрывать.