Дробима ли мера?

[maasdam]

Здравствуйте.
Очень интересует такой вопрос.

Пусть есть измеримое пространство $X$ с мерой $\mu$, такое, что $\mu(X) < \infty$ и $\forall P\in X\;\mu(\{P\}) = 0$ (т.е. все одноточечные подмножества $X$ имеют меру нуль).
Верно ли, что для любого множества $A\subseteq X$ с положительной мерой существует такое $B \subset A$, что $0 < \mu(B) < \mu(A)$?

Иными словами, всегда ли можно "раздробить" множество положительной меры на меньшие (в смысле меры) части?

[ewert]

maasdam в сообщении #447792 писал(а):

Иными словами, всегда ли можно "раздробить" множество положительной меры на меньшие (в смысле меры) части?

Нет. Дело в том, что "точечность" с мерой никак не связано.

Например: пусть пространство разбито на несколько подмножеств, и только они (и само пространство с пустым множеством, конечно) и объявлены измеримыми. Природа ведь множеств при этом никакого значения не имеет.

[maasdam]

Точно, спасибо.

Но что если наложить дополнительное условие: у $A$ существует бесконечное количество различных измеримых подмножеств?

[ewert]

maasdam в сообщении #447798 писал(а):

у $A$ существует бесконечное количество различных измеримых подмножеств?

Не поможет. Возьмите, например, сигма-алгебру, любой элемент которой -- это или фиксированный отрезок, из которого выкинуто не более чем счётное количество точек, или не более чем счётное множество.

[Хорхе]

Необходимое и достаточное условие -- отсутствие у меры $\mu$ атомов.

[maasdam]

Спасибо большое!

Это http://en.wikipedia.org/wiki/Atom_(measure_theory) оказалось как раз тем, что нужно.

[ewert]

Хорхе в сообщении #447803 писал(а):

Необходимое и достаточное условие -- отсутствие у меры $\mu$ атомов.

Ну да. Для любого множества с положительной мерой существует подмножество меньшей, но не нулевой меры тогда и только тогда, когда для любого множества с положительной мерой существует существует подмножество меньшей, но не нулевой меры.

[maasdam]

В Википедии обнаружилась и замечательная теорема, что если мера $\mu$ безатомная, и $\mu(A) > 0$, то для любого $b$, такого, что $0 \leqslant b \leqslant \mu(A)$ существует измеримое подмножество $B\subseteq A$ с $\mu(B)=b$.

[maasdam]

Интересно, существует ли у атомов "ядро". Точнее, пусть есть атом $A$. Существует ли такое подмножество $C\subseteq A$, что $\mu(C)=\mu(A)$ и для любого подмножества $B\subseteq A$ с $\mu(B)=\mu(A)$ верно, что $C\subseteq B$

[Хорхе]

Может и не существовать.