Равномерная сходимость функционального ряда

[Legioner93]

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin{nx}}{n}}$, исследовать на равномерную сходимость на $[0;2 \pi]$, $[\delta;2 \pi - \delta]$ ($0<\delta<2 \pi - \delta$).
Первый отрезок делается без проблем, достаточно положить $x_n=\frac{\pi}{2n}$. Со вторым проблема. Подскажите, в каком направлении думать! По признакам Дирихле и Абеля скорее всего ничего не получится, по признаку Вейерштрасса тоже. Надо либо по определению, либо по критерию Коши. Спасибо.

[Полосин]

Насчет "без проблем" - сомнительно: $n$ - это что такое?
В первом случае воспользуйтесь критерием Коши. Во втором - признаком Абеля-Дирихле, просуммировав синусы.
В первом случае можно также найти сумму этого ряда и воспользоваться теоремой о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций.

[Legioner93]

1) Нам нужно доказать, что $sup|\sum_{k=n+1}^{\infty}{\frac{sin{kx}}{k}}| \to 0$ при $n \to \infty$. Полагая $x_k=\frac{\pi}{2k}$, получаем, что предел равен бесконечности. Это правильно?
2) Попробую, отпишусь.

[Полосин]

1) Нет, это неправильно. У вас $k$ - и индекс суммирования, и номер элемента последовательности. Кроме того, учтите, что на первом отрезке нет равномерной сходимости.
Почитайте учебник, например Фихтенгольца.

[Legioner93]

Да-да, это я неправильно понял:) Конечно же, $x$ может только от n зависеть. Сейчас решу по правильному определению. Учебники, к сожалению, сейчас читать некогда, приходится форсированно решать, используя только определение и несколько свойств.

[мат-ламер]

Ряд из первого поста может сходится к разрывной функции типа "пилы". Равномерная сходимость будет, но на соответствующем интервале. Любопытно выяснить - к какой всё-таки функции он сходится.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #447786 писал(а):

Любопытно выяснить - к какой всё-таки функции он сходится.

Чего там выяснять -- забейте в любой матпакет сумму, скажем, первой сотни членов, посмотрите на график и сразу увидите, что это $\dfrac{\pi-x}{2}$ (далее по периодичности). Только это неспортивно: на момент поступления этой задачки рядов Фурье ещё нет.

Полосин в сообщении #447716 писал(а):

В первом случае воспользуйтесь критерием Коши.

Не так быстро. Синусы всё равно придётся суммировать, как и во втором случае. А потом поиграться с соотношениями между маленьким иксом и большими границами суммирования.

Хотя да, можно и без суммирования. Но там чуть-чуть больше думать нужно, а суммы всё равно уже есть.

Полосин в сообщении #447716 писал(а):

воспользоваться теоремой о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций.

И снова -- чуть помедленнее (не говоря уж о неспортивности). Ну получим мы неравномерность в окрестности граничной точки. Но: в двусторонней -- или односторонней окрестности?...

[Legioner93]

Вот решение, спасибо Полосину
1) Равномерная расходимость на первом отрезке (отрицание критерия Коши):

$$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{\sin{kx}}{k}\right|$$

$$p=n$$

$$\left|\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{\sin{kx}}{k}\right| \geqslant \left|\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{\sin{kx}}{2n}\right| = \left|\frac{1}{2n} \frac{1}{2 \sin{\frac{x}{2}}}\sum_{k=n+1}^{2n} \left(\cos{\left(kx-\frac{x}{2}\right)}-\cos{\left(kx+\frac{x}{2}\right)}\right)\right|$$

$$= \left| \frac{1}{4n \sin{\frac{x}{2}}} \left(\cos{\left(nx+\frac{x}{2}\right)}-\cos{\left(2nx+\frac{x}{2}\right)}\right)\right| = \left| \frac{\sin{\left(\frac{3nx}{2}+\frac{x}{2}\right)}\sin{\frac{nx}{2}}}{2 n \sin{\frac{x}{2}}}\right| ; \ x_{n}=\frac{1}{n}$$

$$= \left| \frac{\sin{\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2n}\right)}\sin{\frac{1}{2}}}{2 n \sin{\frac{1}{2n}}}\right| \geqslant \sin{\frac{3}{2}} \sin{\frac{1}{2}} = \epsilon _{0}$$

2) Равномерная сходимость на втором отрезке (критерий Коши):

$$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{\sin{kx}}{k}\right| \leqslant \left| \frac{1}{n+1}\sum_{k=n+1}^{n+p} \sin{kx}\right| =\text{...суммируем синусы аналогично первому пункту...}=$$

$$\left| \frac{\sin{\left(nx+\frac{px}{2}+\frac{x}{2}\right)} \sin{\frac{px}{2}}}{(n+1)\sin{\frac{x}{2}}}\right| \leqslant \left | \frac{1}{(n+1)\sin{\frac{\delta}{2}}} \right | \leqslant \epsilon$$

$$N_{\epsilon}=\left [ \frac{1}{\epsilon \sin{\frac{\delta}{2}}}\right ]+1, \ \text{этого хватит с запасом}$$

Всё ли здесь правильно?

[Ubu]

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin{nx}}{n}}$

Вот как получается:

a) $ x \in [\delta ; 2\pi-\delta]$
Сходится равномерно по Дирихле (частичные суммы $\sum_{n=1}^{N}{\sin{nx}}$ ограничены) и последовательность $({\frac{1}{n}}) \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty)$.

б) $ x \in [0 ; 2\pi]$
Сходится неравномерно по критерию Коши. (Дирихле нельзя использовать, т. к. частичные суммы неограниченны)