сумма n независимых случайных величин

[spyphy]

Как найти распределение величины $ \eta = \sum \limits_{k=1}^n \xi_k$, если $ \xi_k$ независимы и нормально распределены на [0,1],n>0?

У меня была мысль сделать это через характеристические функции:
$ f_{\xi_k} (t)= i(1-e^{it})/t $.
Тогда $ f_{\eta} (t)= i^n(1-e^{it})^n /t^n $.
Возникает, однако, необхомость вечислить интеграл
$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} \frac {(1-e^{it})^n}{t^n} dt $.
Натуральное число n не известно. Этот интеграл можно вычислить? Через вычеты или как?

[ShMaxG]

spyphy в сообщении #447580 писал(а):

нормально распределены на [0,1]

Вы имеете ввиду равномерно распределены? А не нормально?

[ewert]

Если нормально -- то, да, условие бессмысленно.

Если равномерно -- то вылезет некий сплайн; естественно, но и уныло.

Скорее всего, имелось в виду не "на $[0;1]$", а "по $\mathcal N(0,1)$". Тогда всё стандартно.

[ShMaxG]

Для малых чисел $n$ я бы решал эту задачу используя геометрическую вероятность. А в общем виде писать этот интеграл кажется неприятным (хотя я не пробовал). Но это лучше, чем через характеристические функции.

[spyphy]

Пардон. Да, именно в моем случае нужно "равномерное распределение на [0,1]" (хотя в задаче есть пункт и для случая "нормального" распределения без указания отрезка).
Там потом еще надо найти предел функции распределения $ F_{\eta}(x)$ при $ n \to \infty $.
Наверное, оставлю как есть. Я думал, что, возможно, не заметил каких-нибудь более простых методов решения, потому как не знаю к какой именно теме из ТВиМС относится данная задача.

[Gortaur]

При $n\to\infty$ среднее уедет туда же.

[spyphy]

Что за "среднее"? Там же функции распределения - по идее должна быть конечной.

[ИСН]

Ну, у Вашего распределения есть матожидание? Вот оно и уедет.

-- Пт, 2011-05-20, 00:10 --

Что, впрочем, неважно. Сплайн записать в явном виде - можно, хотя и довольно скучно. Помнится, это сделал кто-то (Лобачевский?) в том ещё веке.