доказать сходимость ряда

[Sboy]

Добрый день!
а подскажите пожалуйста как исследовать на сходимость вот такой ряд:

$\sum_{k=1}^{\inf} \frac{(-1)^k \cos((\frac{\pi}{2}+k\pi)x)}{\frac{\pi}{2}+k\pi}$

Помоему тут два пути могут быть, или по критерию Дирихле или по критерию Абеля.
Как доказывать в данном случае по Абелю вобще ума не приложу.
Для Дирихле вроди получаем просто что
$\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\pi}$ такая последовательность монотонна и сходится к нулю
а вот как доказать ограниченность
$\sum (-1)^k \cos((\frac{\pi}{2}+k\pi)x)$ вобще не соображу.
Может кто знает как это доказать? Заранее спасибо!

[ИСН]

Где ряд-то?
Ряд - это когда в начале стоит такая сложная закорючка, а сверху и снизу от неё маленькие буковки.

-- Ср, 2011-05-18, 21:59 --

"К чему эти придирки, и так же всё ясно" - можете Вы подумать.
Не ясно! По кому суммирование?

[Sboy]

не заметил ошибки при наборе..исправил.

[ИСН]

Так, а мусор Вы сюда таскаете зачем? Вот это $2l^2$ я имею в виду - оно что, важно? нужно? полезно?

[Sboy]

убрал "муссор". не важен он, но чтобы не потерять потом ничего в решении писал со всеми константами.

[ИСН]

так-то лучше. Теперь ограниченность. Можно залудить явное выражение для этих сумм, но я что-то не припомню, чтобы моя нога здесь ступала. Постойте, ну а вот ряд: $\sum\limits_{n=1}^\infty{\sin n\over n}$ - Вы такой не встречали? сходится ли он? почему?

[Sboy]

по признаку Даламбера он сходится надо полагать. только мне кажется мне его тут негде применить.

[coll3ctor]

Sboy в сообщении #447373 писал(а):

по признаку Даламбера он сходится надо полагать. только мне кажется мне его тут негде применить.

он расходится по признаку сравнения

[ИСН]

Убили оба

[Sboy]

разве он не сходится к
$\frac{1}{2}(\pi-1)$ ? с признаком возможно накосячил...давно они были и не часто вспоминать приходится...

coll3ctor на каком основании можно по признаку сравнения доказать расходимость? оценивать расходящимся рядом?!?!

[ewert]

Sboy в сообщении #447341 писал(а):

а вот как доказать ограниченность
$\sum (-1)^k \cos((\frac{\pi}{2}+k\pi)x)$ вобще не соображу.

Молча. Расписав те косинусы через экспоненты по Эйлеру.

Но, между прочим, Дирихле -- он вовсе не критерий. Он -- всего-навсего признак.

[Sboy]

$\sum (-1)^k\cos((\frac{\pi}{2}+k\pi)x)=\sum \frac{(-1)^k}{2} (e^{i \frac{\pi}{2}+k\pi)x}+e^{-i \frac{\pi}{2}+k\pi)x})$
Не вижу отсюда как они сходятся...

[ИСН]

Это две геометрических прогрессии.
У меня была мысль проделать то же самое, оставаясь в действительных - через домножение на какой-нибудь там полусинус; но пожалуй, так круче.