Кратные корни многочлена, характеристического многочлена

[eugrita]

Собственно единственный критерий проверки кратных (вещественных) корней многочлена мне известный cводится к нахождению наибольшего общего делителя многочлена и его производной
$f(x)=0$ $g(x)=f'(x)$
$k(x)=NOD(f(x),g(x))$
Этот критерий страшно неудобен для характеристических уравнений.
Известны ли более простые и приспособленные для характеристических уравнений критерии кратности корней?
Этот же вопрос возникает в методах отделения корней как предверие численных методов уточнения решений уравнения $f(x)=0$ Например, методом деления пополам или золотого сечения
Так же актуален и для дифуров. -пресловутое "кратные корни почти не встречаются на практике"

[alex1910]

Кратные корни есть <--> дискриминант равен нулю. Вот только вычисление дискриминанта по сложности сравнимо с вычислением НОД(f,f').

Кратные корни разрушаются при малых изменениях коэфициентов многочлена, поэтому на практике почти невозможно сказать, то ли это кратные корни, то ли не кратные, но очень близкие.

[eugrita]

хорошо, это так.А можно ли по анализу дискриминанта или чего то еще более экономным способом оценить расстояние между близкими корнями. -опять же для улучшения процедуры отделения корней?
Полагаю что математика и практика не знает примеров кратных корней в функциях-не полиномах или не допускающих полиномиальную замену аргумента?. Т.е кратные корни - атрибут только многочлена?

[alex1910]

eugrita в сообщении #447032 писал(а):

хорошо, это так.А можно ли по анализу дискриминанта или чего то еще более экономным способом оценить расстояние между близкими корнями. -опять же для улучшения процедуры отделения корней?
Полагаю что математика и практика не знает примеров кратных корней в функциях-не полиномах или не допускающих полиномиальную замену аргумента?. Т.е кратные корни - атрибут только многочлена?

Разумеется нет - кратный корень, это такой корень, который также обнуляет производную ("график касается оси"). Так что многочленная изначально терминология работает и в общем случае.

[ewert]

alex1910 в сообщении #447191 писал(а):

Разумеется нет - кратный корень, это такой корень, который также обнуляет производную ("график касается оси"). Так что многочленная изначально терминология работает и в общем случае.

Только в ТФКП. В противном случае это всего лишь жаргон: обозвать корень "кратным", конечно, можно, но вот понятия кратности -- не будет, потому и проку с этого мало.

[alex1910]

ewert в сообщении #447199 писал(а):

alex1910 в сообщении #447191 писал(а):

Разумеется нет - кратный корень, это такой корень, который также обнуляет производную ("график касается оси"). Так что многочленная изначально терминология работает и в общем случае.

Только в ТФКП. В противном случае это всего лишь жаргон: обозвать корень "кратным", конечно, можно, но вот понятия кратности -- не будет, потому и проку с этого мало.

Прок в том, чтобы знать, сколько "первых" членов разложения нулевые.
Может и жаргон, но общеупотребительный, феня для всех.

[eugrita]

так что? ответ на мой вопрос в том, что нет эффективных малообъемных вычислительных критериев для оценки или кратности или близости корней?
Так что ли? т.е с чего я начал тему (НОД многочлена и производной) и все???

[bnovikov]

Существует масса книг по компьютерной алгебре, например:

G. von zur Gathen, Modern Computer Algebra,

Geddes K., Czapor S., Labahn G., Algorithms for Computer Algebra.

В них Вы найдете современные методы для Вашей задачи.