Сумма, равная нулю

[Alfucio]

Здравствуйте!

Пытаюсь доказать, что

$$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{\left( {\prod\limits_{j = 1}^{i - 1} {\left( {{z_i} - {z_j}} \right)} \cdot \prod\limits_{j = i + 1}^n {\left( {{z_i} - {z_j}} \right)} } \right)}}} = 0$$

$n$ — фиксированное число, $z_i$ — комплексные числа (хотя, наверное, это здесь совсем неважно).

Чувствую, что задача простая, но не получается доказать... Были идеи, но они оказались неверными. Подскажите, пожалуйста, с чего начать или что можно хитрое увидеть?

Заранее спасибо! :)

[ewert]

Это -- энная разделённая разность для функции, тождественно равной единице.

[Alfucio]

Спасибо большое, действительно, все просто. Если не секрет, где обычно с этим встречаются первый раз? :)

Задача, на самом деле, возникла из задачи 3.29 Сборника задач по ТФКП (Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. — 4-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.):
Какое число различных значений может принимать интеграл

$$\int\limits_C {\frac{{dz}}{{(z - {z_1})(z - {z_2})...(z - {z_n})}},({z_i} \ne {z_j})} $$

если контур $C$ не проходит ни через одну из точек $z_i$?

У меня возник вопрос, на который пока тоже не могу ответить, можно ли как-то еще доказать, что в общем случае возможных значений данного интеграла не может быть больше, чем $2^n - 1, n > 1$? (Другими словами, что значение данного интеграла по контуру, «внутри которого» лежат все эти $n$ точек, также равен нулю, как и интеграл по контуру, «внутри которого» не лежит ни одна точка $z_i$) (Наверное, мне лучше создать для данного вопроса новую тему?)

[ИСН]

Что значит "тоже"? Это разве не один и тот же вопрос? Интеграл, если его через вычеты это самое, разве не превращается именно в эту сумму?

[Alfucio]

Извините, пожалуйста, недоформулировал вопрос: можно ли как-то в рамках самого ТФКП доказать это, не привлекая алгебру.