Марковская цепь, асимп. оценка суммы значений этой цепи

[burduk]

В нулевой момент времени величина

$${S_0} = 1$$

, через единичный промежуток времени она либо увеличивается в u раз (u>1) с вероятностью p (0<p<1), либо уменьшается в u раз с вероятностью 1-p, т. е. $ ${S_k} = \left\{ \begin{gathered} {S_{k - 1}}*u,p \hfill \\ \frac{{{S_{k - 1}}}}{u},1 - p \hfill \\ \end{gathered} \right.$$
Рассматривается

$${A_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{S_i}} $$

Нужно найти

$${f_k}$$

такую, что

$$P(\frac{{{A_n} - E{A_n}}}{{\sqrt {D{A_n}} }} > k) \to {f_k},n \to \infty $$

Что получается у меня:

$${A_n}$$

принимает значения

$${u^{2{a_1} - 1}} + {u^{2{a_2} - 2}} + \ldots + {u^{2{a_n} - n}}$$

с вероятностями

$${p^{{a_n}}}{(1 - p)^{n - {a_n}}}$$

, по всем

$${a_1}, \ldots ,{a_n}$$

таким, что

$${a_1}, \ldots ,{a_n}$$

- целые и удовлетворяют

$$0 \leqslant {a_1} \leqslant 1,0 \leqslant {a_2} - {a_1} \leqslant 1, \ldots ,0 \leqslant {a_n} - {a_{n - 1}} \leqslant 1$$

А вот что дальше делать, не знаю совершенно (и действительно ли я имею дело с марковской цепью?).

[Gortaur]

Это Маркосвкая цепь с бесконечным числом элементов, что плохо. По сути Ваш процесс - это модель Кокса-Раосса-Рубинштейна из финансовой математики. В таких книгах может быть полезная информация. И вообще, напоминает центральную предельную теорему - может, попытаться к ней привести.

[burduk]

Gortaur, про центральную предельную теорему и была моя первая мысль, я прикинул для небольших n (порядка 10-25, с помощью Mathematica)- нормальной функции распределения там точно не получается. За Кокса-Раосса-Рубинштейна спасибо, почитаю.

[Gortaur]

Я вообще имел ввиду не прямое применение ЦПД, а попробовать модифицировать процесс - ну да ладно.

[Хорхе]

Нет, ЦПТ тут вообще не при чем. Дело в том, что суммы независимых стоят в экспоненте, то есть мы не сможем их нормировать. Тут другое. Но вообще суммы вида

$$ \sum_{k=1}^m \prod_{j=1}^k X_k, $$

где $X_k$ -- независимые, изучают. Попробуйте поискать в гугле или в Гугл академии по запросу "random annuity" или "annuity random discounting". Если ничего не найдете, напишите, я постараюсь поискать там, где я это мог видеть; сейчас нет времени.