2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение08.05.2011, 02:08 
Аватара пользователя
Нет, отношение не сохранилось. $1:-3\neq1,5:-3,5$. Сохраниться должно было другое.

Дана квадратичная форма $\alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2$. В Вашем примере $\alpha=1,\; \beta=\frac 3 2, \;\gamma=-3$.
Введем обозначения$$\mathbf x=\left[ \begin{array}{c}
x \\  y \end{array} \right], \;\;
A=\left[ \begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\beta & \gamma 
\end{array} \right]$$Тогда форму можно записать в матричном виде:
$$\left[ \begin{array}{cc} x & y \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\beta & \gamma 
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
x \\  y \end{array} \right] = \mathbf x^\top A  \, \mathbf x$$
Вы делаете замену координат $$\left[ \begin{array}{c}
x \\  y \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc}
\cos\varphi & -\sin\varphi \\
\sin\varphi & \cos\varphi
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
x' \\  y' \end{array} \right]\;\;\;(\text{или}\;\mathbf x=S\,\mathbf x')$$Подставляя это в $\mathbf x^\top A  \, \mathbf x$, выразим нашу форму через новые координаты $\mathbf x'$:
$$\mathbf x'^\top S^\top A\,  S\, \mathbf x'=\mathbf x'^\top A'\; \mathbf x'$$
Тогда новой матрицей является $A'=S^\top A\,  S$, и надо так подобрать $\varphi$ (и тем самым $S$, которое зависит от $\varphi$), чтобы $A'$ получилась диагональной:$$A'=\left[ \begin{array}{cc}
\alpha' & 0 \\
0 & \gamma'
\end{array} \right]$$То есть преобразование должно приводить форму к виду $\alpha' x'^2+\gamma' y'^2$.

Так вот, наша преобразующая матрица $S$ ортогональна, а потому сохраняется след и определитель матрицы квадратичной формы:$$\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}A',\;\; \operatorname{det}A=\operatorname{det}A'$$Вы пока проверьте, что это так для Вашей исходной матрицы $A=\left[ \begin{array}{cc}1 & 1,5 \\1,5 & -3\end{array} \right]$ и конечной $A'=\left[ \begin{array}{cc}1,5 & 0 \\
0 & -3,5\end{array} \right]$. Но это еще не все (просто пора отдыхать).

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение08.05.2011, 09:04 
Ну или можно так:
$x^2 + axy + by^2 = x^2 + axy + \frac{a^2}{4}y^2 + (b - \frac{a^2}{4})y^2 = (x + \frac{a}{2}y)^2 + (b - \frac{a^2}{4})y^2$
ИМХО, это проще :wink:

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение08.05.2011, 11:58 
Аватара пользователя
Kallikanzarid, примите во внимание, что мой вывод не делается каждый раз. Он приведен только для пояснения, какие инварианты можно использовать для проверки и откуда они берутся. Сами, небось, для быстрой проверки след бы считали. :wink:

Кроме того, смысл не в том, чтобы как угодно привести форму к диагональному виду -- тогда исказятся "канонические" коэффициенты перед новыми $x^2$ и $y^2$. А в том, чтобы сделать это вращением (а это ортогональное преобразование). В Вашем результате новые оси уже неортогональны.

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение08.05.2011, 13:35 
svv
Спасибо!
Вы так красиво и качественно оформили, спасибо)
Это вы какой программой пользуетесь, чтобы так набирать?!

А почему преобразующая матрица ортогональна -- это не очень понятно.. Мы ее подбираем такой угол $\phi$ и именно из-за этого она ортоганальна?

$\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}A',\;\;=-2 $

$\operatorname{det}A=\operatorname{det}A'=-5,25$

И еще=) Ведь тогда достаточно след проверить или бывают случайные совпадения, что "по следам идет не тот кто нужно"?=)))

А что дальше нужно сделать?! Ведь мы нашли уже $A'$...
Вы имеете ввиду перенос?!

P.S. простите за большое кол-во вопросов=)

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение08.05.2011, 14:17 
shur в сообщении #443486 писал(а):
А почему преобразующая матрица ортогональна -- это не очень понятно.. Мы ее подбираем такой угол $\phi$ и именно из-за этого она ортоганальна?
Глядите: $A$ ортогональна, если $AA^\top = E$. Проверим $S$:$$\left[ \begin{array}{cc} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{cc} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \cos^2\varphi + \sin^2\varphi & \cos\varphi\sin\varphi - \sin\varphi\cos\varphi \\ -\cos\varphi\sin\varphi + \sin\varphi\cos\varphi & \cos^2\varphi + \sin^2\varphi \end{array} \right] = \ldots$$

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение08.05.2011, 15:05 
Аватара пользователя
Да. И ортогональные преобразования выделяются тем, что сохраняют вид метрики $r^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$ (см. ниже) -- что и требуется при приведении к каноническому виду.

То есть в наших новых координатах $x'$ и $y'$ расстояние между точками $A$ и $B$ выражается той же формулой $r_{AB}^2=(x'_B-x'_A)^2+(y'_B-y'_A)^2$, что и в старых: $r_{AB}^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$, хотя сами разности изменились.

В преобразовании Kallikanzaridа (да простит он мне использование его сообщения как антипримера :oops:) фактически в качестве новых координат вводятся $x'=x+\frac a 2 y$ и $y'=y$ (может быть, еще с какими-то множителями). Но после такого преобразования в новых координатах уже нельзя пользоваться привычной формулой для расстояния между точками. Новые оси $x'$ и $y'$ стали неортогональными, их масштаб изменился ($\Delta x'=1$ уже не есть сдвиг на единичное расстояние). Соответственно, коэффициенты при $x'^2$ и $y'^2$ непосредственно уже не годятся, например, для различения круга и эллипса, а позволяют сделать только общий вывод о том, какое у нас коническое сечение.

То есть -- Вы поняли -- $S$ не в том смысле ортогональна, что это поворот на $90$ градусов, а в указанном специальном смысле. И таковой $S$ будет при любом $\varphi$.

К пред-предыдущему сообщению нужно относиться (еще раз говорю) не как к руководству к действию. Это, если угодно, я раскрываю секрет того, как можно быстро, не напрягаясь, придти, например, к выводу, что в вычислениях есть ошибка. Ну, и показываю, что с точки зрения теории матриц мы совершаем классическую, хорошо изученную процедуру: приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием.

Кроме следа можно и нужно проверить определитель. В трехмерном случае можно проверить то же, но более полная проверка -- совпадение всех собственных чисел матриц $A$ и $A'$.

Все формулы я набираю вручную. Я сам хотел спросить окружающих, нет ли какой-нибудь удобной программы.

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение08.05.2011, 15:50 
arseniiv в сообщении #443512 писал(а):
shur в сообщении #443486 писал(а):
А почему преобразующая матрица ортогональна -- это не очень понятно.. Мы ее подбираем такой угол $\phi$ и именно из-за этого она ортоганальна?
Глядите: $A$ ортогональна, если $AA^\top = E$. Проверим $S$:$$\left[ \begin{array}{cc} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{cc} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \cos^2\varphi + \sin^2\varphi & \cos\varphi\sin\varphi - \sin\varphi\cos\varphi \\ -\cos\varphi\sin\varphi + \sin\varphi\cos\varphi & \cos^2\varphi + \sin^2\varphi \end{array} \right] = \ldots$$

Спасибо, точно, получилась единичная=)

-- Вс май 08, 2011 16:58:24 --

svv
Спасибо, понятно=)

А после сдвига получилось

$x'=x_1+\dfrac{7}{\sqrt{10}}$
$y'=y_1+\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

$\dfrac{x'^2}{14}-\dfrac{y'^2}{6}=1$

То есть гипербола) С числами все хорошо получилось, значит должно быть правильно)
Ура)

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение08.05.2011, 16:05 

(Оффтоп)

svv в сообщении #443548 писал(а):
Все формулы я набираю вручную. Я сам хотел спросить окружающих, нет ли какой-нибудь удобной программы.
Я раньше часто пользовался MathType, а теперь не так часто, или если не помню код какого-нибудь специфического символа. Там есть копирование в $\TeX$ наряду с другими форматами, но код мне часто приходится подчищать. (Как настроить MathType соответствующим образом, было напимано в одном из здешних FAQов по набору формул.)

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение08.05.2011, 16:52 
svv в сообщении #443548 писал(а):
В преобразовании Kallikanzaridа (да простит он мне использование его сообщения как антипримера :oops:) фактически в качестве новых координат вводятся $x'=x+\frac a 2 y$ и $y'=y$ (может быть, еще с какими-то множителями). Но после такого преобразования в новых координатах уже нельзя пользоваться привычной формулой для расстояния между точками.

Какая трагедия! :lol:

-- Вс май 08, 2011 20:53:31 --

svv в сообщении #443548 писал(а):
приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием.

Нужно сопряжение, ЕМНИП.

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение08.05.2011, 18:04 
Аватара пользователя
Kallikanzarid писал(а):
Нужно сопряжение, ЕМНИП.
Ну, конечно, матрица квадратичной формы преобразуется по общему правилу $A'=S^\top A \;S$. Я так и написал с самого начала:
svv в сообщении #443290 писал(а):
Подставляя это в $\mathbf x^\top A  \, \mathbf x$, выразим нашу форму через новые координаты $\mathbf x'$:
$$\mathbf x'^\top S^\top A\,  S\, \mathbf x'=\mathbf x'^\top A'\; \mathbf x'$$
Тогда новой матрицей является $A'=S^\top A\,  S$

Но метрический тензор в новой системе координат сохранит вид $g_{ik}=\delta_{ik}$ лишь в том случае, если выполнено дополнительное условие ортогональности преобразования $S^\top=S^{-1}$;

(Доказательство)

Матрица компонент метрического тензора (матрица Грама), будучи матрицей квадратичной формы, преобразуется по общему правилу: $G'=S^\top G S$. Если $G=E$ и $G'=E$, то $S^\top S=E$.
у нас оно выполнено, а в этом случае можно написать также и $A'=S^{-1}AS$.

Если компоненты $g_{ik}$ будут общего вида -- для Вас не трагедия, но студент не сможет интерпретировать уравнение кривой второго порядка в новых координатах $f(x', y')=0$ как уравнение в декартовых координатах кривой, которая конгруэнтна исходной, но приведена к стандартному виду. Теряется смысл процедуры приведения к каноническому виду.

Канонический вид -- в канонической системе координат.

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение15.05.2011, 15:52 
Это уже про другую задачу

У меня еще возник вопрос про поворот, но с помощью собственных чисел.
А если преобразующая матрица получилась такая

$$S=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
0&-\frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 2}\\
 0 & \frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 2}\\
\end{pmatrix}$$

Определитель будет равен $-1$, а значит нужно поменять столбцы местами

$$S'=\begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0\\
-\frac{1}{\sqrt 2}&0&\frac{1}{\sqrt 2}\\
 -\frac{1}{\sqrt 2}& 0&\frac{1}{\sqrt 2}\\
\end{pmatrix}$$

Теперь

$$\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0\\
-\frac{1}{\sqrt 2}&0&\frac{1}{\sqrt 2}\\
 -\frac{1}{\sqrt 2}& 0&\frac{1}{\sqrt 2}\\
\end{pmatrix}\cdot 
\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\ 
\end{pmatrix}$$

$$\begin{cases}
 x=y' \\
 y=-\frac{1}{\sqrt 2}x'+\frac{1}{\sqrt 2}z' \\
z=\frac{1}{\sqrt 2}x'+\frac{1}{\sqrt 2}z'\\
 \end{cases}$$

Если бы мы не меняли местами столбцы, то поворот был бы на $\dfrac{\pi}{4}$, причем $x$ при повороте бы не менялся, а поворот был бы относительно осей $y$ и $z$. А тут получается что-то странное! подскажите, пожалуйста, как понять, на какой угол мы повернули?! И что делать с определителем $-1$?!

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение15.05.2011, 16:01 
shur в сообщении #446100 писал(а):
И что делать с определителем -1?!
Определитель -1 мог возникнуть, если Вы каким-то образом (всего не читал) попали в левую систему координат. Например, ось ординат подписали буковкой $z$, а ось аппликат — буковкой $y$.

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение15.05.2011, 16:14 
Алексей К. в сообщении #446104 писал(а):
shur в сообщении #446100 писал(а):
И что делать с определителем -1?!
Определитель -1 мог возникнуть, если Вы каким-то образом (всего не читал) попали в левую систему координат. Например, ось ординат подписали буковкой $z$, а ось аппликат — буковкой $y$.


Спасибо, а как из нее выбраться, не испортив углы?!

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение15.05.2011, 16:42 
Но это была всего лишь гипотеза читателя, не вникшего глубоко в тему; могли быть и другие причины, ошибки.
Если гипотеза верна, то туда (в левую систему) просто нельзя забираться.

 
 
 
 Re: Канонический вид кривая второго порядка
Сообщение15.05.2011, 16:45 
Алексей К. в сообщении #446117 писал(а):
Но это была всего лишь гипотеза читателя, не вникшего глубоко в тему; могли быть и другие причины, ошибки.
Если гипотеза верна, то туда (в левую систему) просто нельзя забираться.


Спасибо! А точно, там собственные числа можно поменять можно поменять местами изначально (тогда и собсвенные вектора -- тоже), тогда не попадем в левую систему координат) Только как в нее не попасть изначально -- неочевидно!

 
 
 [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group