Существует ли? Производные и пределы

[lega4]

Если нам известно, что

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$$

и что $f(x)$ непрерывна при $x\geq0$, то правда ли, что ее первообразная $F(x)$ имеет конечный или бесконечный предел?

$$\lim_{x\to+\infty}F(x)$$

Если нет, то хотелось бы увидеть пример функции, не имеющей предела, но у которой производная имеет предел. А если да, то подкиньте плз идею, как это можно доказать...

[gris]

Лучше это частично доказать, а частично построить контрпример. Если $a\neq 0$, то предел первообразной равен плюс или минус бесконечности.
Остаётся случай $a=0$.
Если $f(x)$ знакопостоянна, то тут тоже ясно.
Если не знакопостоянна, то возможны варианты.
Вот тут подсказка для контр(?)примера $f(x)$: неравномерно растянутый и сужающийся по амплитуде синус. Чем дальше, тем больше. И ряд $1-4+9-16+25-36+...$

А вот аналогично растянутый и расширяющийся синус подойдёт для другого примера.
Кстати, можно и формулу написать для функции и посмотреть аналитически.

[lega4]

gris в сообщении #445823 писал(а):

Лучше это частично доказать, а частично построить контрпример. Если $a\neq 0$, то предел первообразной равен плюс или минус бесконечности.

Наверное, я жутко туплю, но как это доказать формально? На пальцах понятно, а вот формально..

gris в сообщении #445823 писал(а):

Остаётся случай $a=0$.
Если $f(x)$ знакопостоянна, то тут тоже ясно.
Если не знакопостоянна, то возможны варианты.
Вот тут подсказка для контр(?)примера $f(x)$: неравномерно растянутый и сужающийся по амплитуде синус. Чем дальше, тем больше. И ряд $1-4+9-16+25-36+...$

Типа $\frac{\sin x}{x}$? Но там все хорошо, первообразная стремится к конечному числу..

[gris]

Да, синус можно поджать гиперболами, но при этом его нужно немилосердно растягивать, чтобы площадь каждого горба увеличивалась с большим размахом. Ну поиграйте с аргументом синуса.

Доказать форматьно просто. Оценить первообразную снизу (сверху) линейной функцией при $a\neq 0$. В случае $a=0$ и знакопостоянной функции, первообразная будет монотонной.

[lega4]

Цитата:

но при этом его нужно немилосердно растягивать, чтобы площадь каждого горба увеличивалась с большим размахом. Ну поиграйте с аргументом синуса.

Попробовал $\frac{\sin(\frac{1}{x})}{x}$ - тоже все хорошо. Была идея типа $\frac{\sin(\frac{1}{2^x} x)}{x}$, но вроде и там ок... Что же в него подставить чтобы получился контрпример?

[gris]

Надо, чтобы аргумент синуса неограниченно возрастал, но всё медленнее. Может быть логарифм подойдёт?
$f(x)=\dfrac {\sin(\ln x)}{x}$
Берётся хорошо и первообразная предела не имеет.

[lega4]

gris, вроде бы она не непрерывна в нуле?

[gris]

А при чём тут ноль? Мы же предел на бесконечности ищем. Рассмотрим её на $[1;\infty)}$. Ну при особом желании икс возмём по модулю, а на $(-1;1)$ гладко доопределим.

[lega4]

lega4 в сообщении #445815 писал(а):

Если нам известно, что

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$$

и что $f(x)$ непрерывна при $x\geq0$...

Нам непрерывность нужна)
В задании, откуда этот вопрос, надо рассматривать предел интеграла от этой функции от нуля то T, при T->inf, вот тогда непрерывность в нуле и пригождается...
Собственно, изначальное задание, надо это доказать, если про $f(x)$ известно то, что написано в первом посте.

(Оффтоп)

$$\lim_{T\to+\infty}\frac{\int\limits_{0}^{T} f(x) dx}{T}=a$$

[gris]

Ну добавили бы к иксу единичку, делов то. Сместить разрыв в -1.
Но я предвижу всё.

$f(x)=\dfrac{2x\sin (\ln (x^2+1))}{x^2+1}$

Или Вы хотите, чтобы функция была дворянкой столбовою ещё и полимероморфной?

В оффтопном пределе всё-таки $T\to\infty$, а не $x$.

[lega4]

gris
Окей, такая функция нашлась) Но мы не ищем легких путей Ее первообразная оказалась ограниченной) Посему ищем дворянку столбовую следующую функцию: все также, но у нее еще неограниченная первообразная. Если я не ошибся, такой функцией будет вышепредставленная +1.

Или я не в том направлении думаю... Для доказательства требуемого (в оффтопе которое) я решил рассмотреть все случаи первообразных. Пока у меня есть такие:
1. $F(x)->inf $ при $x->inf$
2. $F(x)->c $ при $x->inf$
3. Не существует предела и ограничена.
4. ? Не существует предела и не ограничена?
Но мне начинает казаться, что предполагался несколько другой метод решения...

[gris]

Чего это Вы понаписали?
Надо так: F(x)\to\infty

Когда я говорил про растягивающийся и расширяющийся синус в качестве неограниченной, но не имеющей предела первообразной, я и имел в виду случай 4.

Но теперь мне непонятно. Возник какой-то интеграл в оффтопе, которого не было в условии.
Что нужно доказать-то?
При $a\neq 0$ первообразная монотонно стремится к бесконечности.
При $a=0$ и знакопостоянной фукнкции первообразная мотнотонна, то есть стремится к конечному или бесконечному пределу.

При $a=0$ и знакопеременной функции возможно всё.

Ну возведите логарифм в десятую степень. Правда там интеграл не будет браться в элементарных, но оно Вам нужно разве? Это уже, знаете, владычица морская

Хотя идея-то понятно, можно и подобрать при желании.

Но ведь задача-то другая!!!
Нам нужен не предел первообразной, а первообразной, делённой на её верхний предел!
В итоге все поиски напрасны. Остались, как и положено, у разбитого корыта.

А оффтопный предел разкмеется равен пределу функции. Не зря я там про линейную функцию говорил. Так что все контрпримеры сохраните для других задач.