Все решения Диофантова уравнения $x^3+y^3=z^2$...?

[ninon]

Рассмотрим уравнение
(1) $x^3+y^3=z^2$,
где $x$ - четное число.
Далее
$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=z^2$.
Рассмотрим случай, когда $z$ - не кратен 3. Имеем:
$z=z_1z_2$.
(2) $x+y=z_1^2,$
(3) $x^2-xy+y^2=z_2^2$.
Рассмотрим уравнение (3), имеем:
$-3xy+(x+y)^2=z_2^2$,
или
$-3x(z_1^2-x)+z_1^4=z_2^2$.
Окончательно
$3x^2+(2z_1^2-3x)^2=(2z_2)^2$.
Отсюда
$2z_1^2-3x=p-\frac{3x^2}{4p}$,
где $p$ - некоторый делитель числа $3x^2$.
Допустим, что $x=4x_1x_2$, тогда имеем:
(4) $z_2=x_1^2+3x_2^2$,
и
(5) $2z_1^2-3*4x_1x_2=2x_1^2-3*2x_2^2$,
или
$z_1^2=x_1^2-3x_2^2+6x_1x_2$.
Окончательно
(6) $12x_2^2+z_1^2=(x_1+3x_2)^2$.
Если в уравнении (6) $x_2$ - нечетное число, то уравнение (6)
не имеет решения в целых числах, т . к. разность квадратов двух нечетных чисел кратна 8.
Пусть $x_2=x_3x_4$, причем $(x_3,x_4)=1$ и одно из них четное.
Тогда из уравнения (6) имеем:
(7) $x_1+3x_2=x_3^2+3x_4^2$,
(8) $z_1=x_3^2-3x_4^2$.
Откуда
$x_1=x_3^2+3x_4^2-3x_2$,
$x=4x_1x_2$,
$z_1=x_3^2-3x_4^2$,
$z_1^2=(x_3^2-3x_4^2)^2$,
$y=z_1^2-x$,
$z=z_1(x_1^2+3x_2^2)$.
Пусть $x_3=1, x_4=2$.
Тогда
$56^3+65^3=671^2$
и так далее.

[AKM]

Автор,

извольте чётко сформулировать предмет дискуссии.
Читателю должно быть ясно, чего ради рассматривается уравнение (1).

(Оффтоп)

Например, "до меня никто не мог решить такое уравнение, а я Вам сейчас покажу!"

Тема перемещена из "Дискуссионных тем (М)" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

Возвращено.

[ninon]

Рассмотрим случай, когда $z$ кратен 3. Имеем:
$z=z_1z_2$,
(8) $x+y=3z_1^2$,
(9) $x^2-xy+y^2=3z_2^2$.
Из уравнения (9), имеем:
$-3xy+(x+y)^2=3z_2^2$,
или
$-3xy+9z_1^4=3z_2^2$,
или
$-xy+3z_1^4=z_2^4$.
Так как квадрат нечетного числа имеет вид $8d+1$, то имеем:
$-2k_1+3(16k_2+1)=8k_3+1$.
Это равенство возможно в целых числах, если
$-2k_1+3=8k_4+1$,
или
$2(4k_4+k_1)=2$.
Отсюда $k_1=1, k_4=0$.
Если $k_1=1$, то $ x=2, y=1, z=3$, то есть,
это единственное решение уравнения (1) в целых числах.

[nnosipov]

Если $z$ делится на $3$, то решений, конечно, будет много. Видимо, автор молчаливо предполагает, что $\gcd{(x,y)}=1$. Это хотя и интересный случай, но совершенно недостаточный для того, что бы говорить об отыскании всех решений уравнения $x^3+y^3=z^2$. Впрочем, и при разборе этого случая автор где-то ошибся, так как, например, пропустил решение $x=37$, $y=11$, $z=228$.

[scwec]

Еще одно известное решение $x=33, y=-6, z=189$
Полезно посмотреть Серпинского стр. 66

[ninon]

Отвечаю, "nnosipov".
Здесь не рассмотрен случай, когда $z$ - четное число.
Это будет рассмотрено далее...

[nnosipov]

ninon в сообщении #445730 писал(а):

Отвечаю, "nnosipov".
Здесь не рассмотрен случай, когда $z$ - четное число.
Это будет рассмотрено далее...

При нечетном $z$ те же проблемы: пропущено, например, решение $x=74$, $y=-47$, $z=549$.

[ninon]

Мы здесь решаем уравнение
$x^3+y^3=z^2$,
а, не
$x^3-y^3=z^2$,
Это "совершенно разные уравнения".

[nnosipov]

ninon в сообщении #445791 писал(а):

Мы здесь решаем уравнение
$x^3+y^3=z^2$,
а, не
$x^3-y^3=z^2$,
Это "совершенно разные уравнения".

Если их решать в целых числах, то это "совершенно одинаковые уравнения". В каких же числах Вы решаете своё уравнение? Если в положительных целых, то вот Вам ещё решение: $x=433$, $y=242$, $z=9765$.

[ninon]

Я не фанатик этого уравнения.
Посмотрите уравнения (3) и (4).
Там можно пенести 3.
И Вы получите все решения.
Мне пришлошь решать его попутно...

[nnosipov]

ninon в сообщении #445806 писал(а):

Посмотрите уравнения (3) и (4).
Там можно пенести 3.
И Вы получите все решения.

Бездоказательно. Уравнения (3) и (4) относятся к случаю, когда $z$ не делится на $3$. Как получить решение $(x,y,z)=(433,242,9765)$, в котором $z$ кратен $3$?
И если Вы не решаете уравнение $x^3+y^3=z^2$, то о чём в этой теме идёт речь? Извольте чётко сформулировать задачу.

[r-aax]

ninon в сообщении #443114 писал(а):

(2) $x+y=z_1^2,$
(3) $x^2-xy+y^2=z_2^2$.

Почему?
Это только часть решений.

[ninon]

Уважаемый, Я вам (и не только вам) предложил
бесконечное множество решениий уравнения (1).
Посмотрите про Ферма (у меня там две темы... было четыре...).

[nnosipov]

ninon в сообщении #445820 писал(а):

Уважаемый, Я вам (и не только вам) предложил
бесконечное множество решениий уравнения (1).
Посмотрите про Ферма (у меня там две темы... было четыре...).

То, что уравнение (1) имеет бесконечно много решений, доказывается легко и это хорошо известный факт (см. уже цитированную выше книгу В. Серпинского "О решении уравнений в целых числах", стр. 66). Так что ничего нового Вы не предложили.

[AKM]

ninon в сообщении #445820 писал(а):

Уважаемый, Я вам (и не только вам) предложил
бесконечное множество решениий уравнения (1).

ninon,

Вас никто не просил об этом одолжении.

Поэтому Ваше выступление расценивается лишь как извещение общественности о том, что Вы (якобы) нашли все решения данного уравнения. Как пожелание обсудить эту тему.

А Ваша манера вести дискуссию расценивается как хамовато-самоуверенная и здесь неприемлемая.

Копии первого сообщения в других темах удалены. Тема отправляется в Пургаторий. И очередной бан. И прекратите клонироваться.