Система ду методом Эйлера

[Kobe]

\begin{cases}x'=-2x,\\y'=y.\end{cases}
Вроде бы простая система, я её решил, но мне кажется, что что-то не так. Напишите пожалуйста ваше решение этой системы.

Моё характеристическое уравнение: $k^{2}+k-2$
$k_1=-2, k_2=1$;
Далее получается такая система:
\begin{cases}(-2-k)a+0b=0,\\0a+(1-k)b=0.\end{cases}

zhoraster:

Теги [math] писать не обязательно, но не забывайте окружать формулы знаками доллара. Нижний индекс пишется так:

$k_1$.

Поправил.

[ShMaxG]

Матрица вашей системы: $\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2} & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} } \right)\]$. Собственные числа этой матрицы сразу видны и без составления характеристического уравнения: $k_1 = 1$ и $k_2 = -2$.
Далее вам следует найти собственные векторы, по каждому собственному значению. Это будут векторы $h_1$ и $h_2$. Тогда решением будет: $\[\left( \begin{gathered} x \hfill \\ y \hfill \\ \end{gathered} \right) = {C_1}{e^{ - 2 \cdot t}}{h_1} + {C_2}{e^{1 \cdot t}}{h_2}\] $.

Найдите собственные векторы и запишите ответ.

Это достаточно общий вариант решения подобных задач. Впрочем, данная задача еще более проста, т.к. каждая строчка в уравнении -- обыкновенный диффур с одной зависимой переменной. Решив диффур в каждой строчке получим ответ.

[Kobe]

В том то и дело, получается, при $k_1=1$, система:

$\begin{cases}(-2-1)a=0,\\(1-1)b=0.\end{cases}$
то есть $\begin{cases}a=0,\\b=1.\end{cases}$, от сюда видим, что $a$ обязательно должно равняться 0, а $b$ может равняться любому числу, так как $(1-1)b$ всегда будет 0, правильно рассуждаю?
Я могу взять любое $b$ в этом случае?

При $k_2=-2$ получается подобная система

$\begin{cases}(-2-2)a=0,\\(1+2)b=0.\end{cases}$

[ShMaxG]

Kobe в сообщении #445660 писал(а):

В том то и дело, получается, при $k_1=1$, система:

$\begin{cases}(-2-1)a=0,\\(1-1)b=0.\end{cases}$
то есть $\begin{cases}a=0,\\b=1.\end{cases}$, от сюда видим, что $a$ обязательно должно равняться 0, а $b$ может равняться любому числу, так как $(1-1)b$ всегда будет 0, правильно рассуждаю?

Да, правильно.

Kobe в сообщении #445660 писал(а):

Я могу взять любое $b$ в этом случае?

Да.

Kobe в сообщении #445660 писал(а):

При $k_2=-2$ получается подобная система

$\begin{cases}(-2-2)a=0,\\(1+2)b=0.\end{cases}$

Ошибка в первой строчке системы.

[Kobe]

ShMaxG в сообщении #445662 писал(а):

$\begin{cases}(-2-2)a=0,\\(1+2)b=0.\end{cases}$
Ошибка в первой строчке системы.

Ой, переписал с тетради так, у меня + в вычислениях.

Тогда такой вопрос, при решении обычным способом получается такой ответ:

$\begin{cases}x=C_1+C_2e^{-2t},\\y=C_1e^{t}+C_2.\end{cases}$

Но, если решая методом Эйлера, можно взять любое $b$ при k_1 и любое $a$ при k_2, решение может иметь вид:

$\begin{cases}x=C_1+3C_2e^{-2t},\\y=2C_1e^{t}+C_2.\end{cases}$

Ничего что решения не совпадают? Или коэффициенты при константах не меняют решения?

[ShMaxG]

Kobe в сообщении #445665 писал(а):

Тогда такой вопрос, при решении обычным способом получается такой ответ:

$\begin{cases}x=C_1+C_2e^{-2t},\\y=C_1e^{t}+C_2.\end{cases}$

Нет, не такой ответ.

Kobe в сообщении #445665 писал(а):

Но, если решая методом Эйлера, можно взять любое $b$ при k_1 и любое $a$ при k_2, решение может иметь вид:

Ну появятся конкретные числа перед произвольными константами $C_1$ и $C_2$. И это будет все равно произвольной константе.

[Kobe]

А какой ответ тогда получается? почему не верно?

[ShMaxG]

Ну смотрите. Мы получили собственные векторы $\[{h_1} = \left( \begin{gathered} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right)\]$ и $\[{h_2} = \left( \begin{gathered} 0 \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right)\] $. Значит решение наше запишется так: $\[\left( \begin{gathered} x \hfill \\ y \hfill \\ \end{gathered} \right) = {C_1}\left( \begin{gathered} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right){e^{ - 2t}} + {C_2}\left( \begin{gathered} 0 \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right){e^t}\]$.

Значит....

[Kobe]

$x=C_1e^{-2t}; y=C_1e^{t}$?

[ShMaxG]

Kobe в сообщении #445673 писал(а):

$x=C_1e^{-2t}; y=C_1e^{t}$?

Только константы все же разные, кстати. А так -- верно.

Этот ответ по-хорошему для данной задачи надо писать мгновенно и ни о чем не думая, ибо он может получаться решением независимых уравнений, первого и второго. И использовать для сравнения с ответом, полученным методом Эйлера, они естественно должны совпадать.

Все понятно стало?

[Kobe]

ShMaxG в сообщении #445674 писал(а):

Kobe в сообщении #445673 писал(а):

$x=C_1e^{-2t}; y=C_1e^{t}$?

Только константы все же разные, кстати. А так -- верно.

Этот ответ по-хорошему для данной задачи надо писать мгновенно и ни о чем не думая, ибо он может получаться решением независимых уравнений, первого и второго. И использовать для сравнения с ответом, полученным методом Эйлера, они естественно должны совпадать.

Все понятно стало?

Я сначала так и сделал, решил независимо, потом Эйлером, и здесь засомневался.

ShMaxG писал(а):

Только константы все же разные, кстати

в смысле C_1 C_2 надо было написать? А не C_1 C_1

[ShMaxG]

Не

Kobe в сообщении #445673 писал(а):

$x=C_1e^{-2t}; y=C_1e^{t}$?

а

$x=C_1e^{-2t}; \,\, y=C_2e^{t}$

[Kobe]

Всё, теперь всё понятно) благодарю)