Удар обода.

[dovlato]

Тонкий жёсткий упругий обод катится по горизонтальному ковру, плоскость обода вертикальна. Происходит лобовой удар обода о жёсткую вертикальную стенку. Коэффициент трения обода о стенку $k$. Найти направление отскока центра обода для двух случаев: $k\le \frac 1 4$, и $k>\frac 1 4$

[BISHA]

dovlato в сообщении #421598 писал(а):

Найти направление отскока центра обода

Выскажу предположения. Нужно будет сложить две составляющие - импульс силы (и отскока) вдоль направления движения, вращение обода обуславливает составляющую скорости вдоль стенки и появляется сила трения. Силу давления на стенку находим через изменение импульса обруча и т. д. Близко к правде?

[dovlato]

У меня они такие же. Тут, думаю, допустима такая идеализация: удар по горизонтали можно считать абсолютно упругим - т.е. горизонтальная составляющая скорости просто меняет знак. Тогда как импульс, полученный ударной силой трения снизу вверх - должен заставить его подскочить. Ну и дальше идут уже кинематические соображения о предельной вертикальной скорости после удара. Мне кажется, её максимум - половина начальной скорости центра. Ковёр мне понадобился, чтобы не возникало лишних размышлений об импульсной реакции опоры в момент деформации обода.

[obar]

Если $\kappa<1/4$, то $\tg\phi=2\kappa$; при $\kappa\geq1/4$ $\tg\phi=1/2$, $\phi$ - угол отскока. При этом отскок во втором случае происходит без вращения обода.

[dovlato]

obar в сообщении #445311 писал(а):

во втором случае происходит без вращения

Неточно; во втором случаев в момент отрыва от стенки прекратится не вращение, а проскальзывание обода и стенки. Именно поэтому вращение ещё будет происходить с $\omega=v/(2R)$. Ну, а формулы у меня ровно те же самые.

[obar]

Тогда ваш ответ противоречит закону изменения углового момента.

Пусть $F(t)$ - сила трения между шайбой и стенкой, $\tau$ - время соударения. Будем считать, что шайба достаточно упругая, т.е. $v_0/\tau\gg g$. Тогда силу тяжести можна не учитывать.

$$ I\frac{d\omega}{dt}=-RF(t)\quad \Rightarrow\quad I(\omega_0-\omega)=R\int_0^{\tau}F(t)dt $$

где $\omega_0=v_0/R$, $I=mR^2/2$. Кроме того

$$ ma_{y}=F(t)\quad \Rightarrow\quad mv_y=\int_0^{\tau}F(t)dt. $$

Эти уравнения справедливы как при наличии проскальзывания, так и при его отсутствии. Из этих уравнений находим связь

$$ 2v_y=v_0-\omega R. $$

Если вы согласны, что $\tg\phi=1/2$, то вы должны согласиться и с заключением, что $\omega=0$.

-- Пт май 13, 2011 18:44:35 --

Сейчас обратил внимание на слово "обод" ($I=mR^2$). Я считал для шайбы ($I=mR^2/2$).

[dovlato]

obar в сообщении #445445 писал(а):

$I=mR^2/2$.

У обода момент инерции $I=mR^2$ (это не круг).
В этой задаче момент импульса системы сохраняется только относительно тех точек, которые находятся на высоте радиуса над полом: для всех остальных точек происходит скачок момента за счёт мгновенной реакции стенки в момент удара.
До удара момент импульса

$$M_0=I\omega=mR^2v/R=mvR$$

После удара скорость, линейная и угловая, упала вдвое, и момент импульса относительно той точки стенки, где произошло соударение, стал равен:

$$M_1=\frac12 mvR+\frac12 mvR=mvR=M_0$$

Если рассмотреть диски с меньшими моментами инерции, чем у обода, то, очевидно при $I->0, \quad \varphi->0$.
Думаю, можно доказать, что при $I\rightarrow \infty, \quad \varphi \rightarrow \pi/2$

[obar]

dovlato в сообщении #445453 писал(а):

Если рассмотреть диски с меньшими моментами инерции, чем у обода, то, очевидно при $I->0, \varphi->0$.

Нет. примените ваши рассуждения к шайбе.

dovlato в сообщении #445453 писал(а):

Думаю, можно доказать, что при $I\rightarrow\infty,\;\varphi\rightarrow\pi/2$

Как вы собрались реализовать случай $I\rightarrow\infty$?

[dovlato]

obar в сообщении #445474 писал(а):

Нет.

Не нет, а да. Рассмотрите тяжёлую точку в центре невесомого жёсткого диска.

obar в сообщении #445474 писал(а):

Как вы собрались реализовать

Рассмотрите катушку с а-аагромными дисками по бокам, и катящаяся по направляющим (вместо пола); в конце - встреча центральной катушки с жёстким столбом (вместо стенки).

[obar]

Рассмотрим задачу в общем виде. Пусть $N(t)$ - сила реакции стенки, $F(t)$ - сила трения между "шайбой" и стенкой, $\tau$ - время соударения. Будем считать, что шайба достаточно упругая, т.е. $v_0/\tau\gg g$. Тогда

$$ I\frac{d\omega}{dt}=-RF(t)\quad \Rightarrow\quad I(\omega_0-\omega)=R\int_0^{\tau}F(t)dt\eqno(1) $$

$$ ma_{y}=F(t)\quad \Rightarrow\quad mv_y=\int_0^{\tau}F(t)dt.\eqno(2) $$

$$ ma_{x}=-N(t)\quad \Rightarrow\quad 2mv_0=\int_0^{\tau}N(t)dt.\eqno(3) $$

Из (1) и (2) находим

$$ 2v_y=v_0-\omega R.\eqno(4) $$

Пусть трение мало и проскальзывание происходит за все время удара. Тогда $F=\kappa N$ и из уравнений (2) и (3) находим

$$ v_y=2\kappa v_0\quad \Rightarrow\quad \tg\varphi=2\kappa, \quad \kappa\leq\kappa_0. $$

Угловая скорость шайбы после отскока ($\omega_0=v_0/R$)

$$ \omega R=1-2\kappa\frac{mR^2}{I}. $$

Это решение справедливо, когда $\kappa\leq I/2mR^2\equiv\kappa_0$. При $\kappa=\kappa_0$ шайба отскакивает с $\omega=0$. Если $\kappa>\kappa_0$, то по-прежнему будет $\omega=0$ и из (4) получаем

$$ \tg\varphi=I/mR^2,\quad \kappa>\kappa_0. $$

В частности, для обруча $I/mR^2=1$, $\kappa_0=1/2$; для шайбы $I/mR^2=1/2$, $\kappa_0=1/4$. Как у вас для обруча получилось $\kappa_0=1/4$?

[dovlato]

Вот все необходимые и достаточные условия в данной задаче:

$$\left\{\begin{array}{1} v_y\le 2kv_0\\ v_y\le R\omega \\ v_y=p(v_0-R\omega)\end{array}\right$$

Здесь обозначено $p=I/(mR^2)$.
Первое условие возникает в силу естественного ограничения, наложенного на возможную величину вертикального импульса силы трения.
Второе условие - отражение того обстоятельства, что вертикальное ускорение тела происходит тогда и только тогда, когда проскальзывание колеса в точке соприкосновения происходит сверху вниз (а сила трения, следовательно толкает тело вверх).
Наконец, третье уравнение отражает факт сохранения момента импульса колеса относительно точки удара.
Решение этой системы приводит к выводу, что существует граничное значение коэффициента трения

$$k_0=\frac{p}{2(1+p)}$$

При этом

$$tg(\varphi)=\frac{v_y}{v_0}=min(2k, 2k_0)$$

Очевидные следствия.
1. Если $I\rightarrow 0, \quad \varphi \rightarrow 0$
2. Для обода $p=1; \quad k_0=1/4;\quad \tg(\varphi) \le 1/2$
3. Если $I\rightarrow \infty, \quad \varphi \rightarrow \pi /4$

[Morkonwen]

А почему вы думаете, что горизонтальный импульс просто поменяет знак? Старое доброе доказательство справедливо если нет потерь энергии и движение все время по горизонтали, а что насчет нашей задачи ?

-- Ср май 18, 2011 19:25:57 --

Например случай, когда прикосновение к стене без проскальзывания. Силы в точке контакта не совершают работу - энергия сохраняется. В такой ситуации у меня вышло что

$P_{x 2}^2=P_{x 1}^2 (1+\frac{I}{m R^2})(1-\frac{I^2}{(I+MR^2)^2})$

Даже для кольца величины существенно не равны

$P_{x 2}^2=P_{x 1}^2 1.5$

Если я прав, то для решения вашей задачи в начальной формулировке данных просто не достаточно и нужно рассматривать природу столкновения очень подробно

[dovlato]

Ну, такова уж моя модель: по горизонтали столкновение упругое. Наличие или отсутствие трения по вертикали очень слабо связано со степенью упругости по горизонтали. С этим утверждением при желании можно спорить - но, в конце концов, любая модель - всего лишь приближение. Кстати, сплошь и рядом в задачах толкуют о столкновениях шаров - и в 99.9% процентов авторы избегают вообще вспоминать о трении. Совсем уже глупость начинается, когда, бывает, предлагается решать задачи на столкновения катящихся бильярдных шаров без учёта их вращения.
А вообще-то, не сомневаюсь, можно слегка усложнить модель, связав степень "горизонтальной" упругости с коэффициентом "вертикального" трения, так, что она ещё будет решаемой элементарными средствами.
Относительно вашего равенства ничего не могу сказать: не знаю его происхождения. Вообще-то отсутствие проскальзывания - это что-то типа столкновения шестерёнки с рифлёной стенкой.

[Morkonwen]

dovlato в сообщении #447379 писал(а):

Совсем уже глупость начинается, когда, бывает, предлагается решать задачи на столкновения катящихся бильярдных шаров без учёта их вращения.

Ну это вообще бездарные задачники!

dovlato в сообщении #447379 писал(а):

А вообще-то, не сомневаюсь, можно слегка усложнить модель, связав степень "горизонтальной" упругости с коэффициентом "вертикального" трения, так, что она ещё будет решаемой элементарными средствами.

Вообще задача мне понравилась. Единственное мне все не хватало одного уравнения, а про равенство я подумал сначала, но отбросил эту мысль по причинам выше. Придется указать в условии что-то типа "удар происходит так, что горизонтальный импульс меняет знак"

dovlato в сообщении #447379 писал(а):

Относительно вашего равенства ничего не могу сказать: не знаю его происхождения. Вообще-то отсутствие проскальзывания - это что-то типа столкновения шестерёнки с рифлёной стенкой.

Это не так далеко от вашей модели - и в том и в другом случае в момент столкновения в точке касания силы очень большие - при отсутствии трения ответ был бы совсем иным. ведь при сколь угодно большой горизонтальной силе, вертикальной состовляющей бы точно не было.

Берется мое равенство из закона сохранения энергии, Того, что до столкновения обручь катится без проскальзывания, а после тоже без проскальзывания, но по уже вертикальной стене и только в первый момент.

Тут ведь что плохо - тот факт что импульс меняет знак следует кроме всего прочего из закона сохранения энергии и для систем с потерями не выполняется, а у вас потери есть! не говоря о вращении .

Я думаю так:
Если например представить два вращающихся шара в невесомости летящих друг на друга, то после столкновения при наличии трения они отнюдь не будут на той же прямой по которой подлетали друг к другу. Все что гарантирует ЗСИ это сохранение суммарного импульса, но отдельные могут менятся очень сильно. в нашем случае стена это очень тяжелый шар.

[dovlato]

Попробуйте составить задачу.