Теория групп

[ZdravstvujNebo]

1)Какие группы изоморфны?

у меня получилось, что по 2 элемента в группах
и по 6 в группах
то есть возможность гомоморфизма надо проверять между первыми тремя и последними тремя..но как?
2) Найдите элемент максимального порядка

[Kallikanzarid]

(Оффтоп)

Напомнило анекдот:
- Изоморфны ли группы $G$ и $H$?
- Группа $G$ изоморфна, а группа $H$ - нет.

[ZdravstvujNebo]

ну может кто-нибудь помочь?

[bot]

С трудом догадался, что $C_2xC_2$ это $C_1\times C_2$.
Ну и в чём проблема? Двухэлементная группа только одна. А какие бывают группы 6-го порядка?
Кстати, сколько элементов в $Aut C_2xC_2$ и в $Aut C_2xC_3$ или это у Вас описка?

[ZdravstvujNebo]

Почему двухэлементная группа одна? их три
в C2xC2 получается 4 элемента - один единичный, три обратны сами себе, как последние три не переставляй, операция гомоморфизма остается, получается 6 автоморфизмов, в Aut(С2хС3), если перебрать 8 вариантов, получается 2 автоморфизма

[VAL]

ZdravstvujNebo в сообщении #445436 писал(а):

Почему двухэлементная группа одна? их три

Серьезно!?
Предъявите, пожалуйста, таблицы Кэли для всех трех.

[ZdravstvujNebo]

раз их не три, тогда скажите мне, что я делаю не так
Группу автоморфизмов я строю так : по пустяковым теоремам о гомоморфизме 1) единичный элемент переходит в себя 2) на места обратных друг другу элементов должны ставиться обратные друг другу элементы, это необходимые условия, чтобы гомоморфизм был
то есть если С2={0,1} C3={0,1,2} C2xC3={0,0 ; 0,1 ; 0,2 ; 1,0 ; 1,1 ; 1,2} из них 1,0 обратен сам себе, 0,2 и 0,1 друг другу, и 1,2 и 1,1 друг другу. По необходимым условиям выше получается 8 вариантов, если их проверить, получается 2 варианта, где есть гомоморфизм, то есть два автоморфизма, значит Aut(C2xC3) - двухэлементная группа

[VAL]

Кажется понял.
Мы с Вами вообще о разных вещах говорим.
Придется сформулировать вопрос bot'а (а следом и мой) развернуто:
Сколько (с точностью до изоморфизма) существует групп порядка два?
Ответ: одна. Иными словами, любые две двухэлементные группы изоморфны между собой.

Кстати, то, что группа автоморфизмов группы $C_2\times C_3$ двухэлементна, я бы доказывал так:
$C_2\times C_3$ изоморфна $C_6$. А то, что у циклической группы порядка 6 всего два автоморфизма, очевидно. Порождающий элемент $a$ может перейти либо в себя, либо в $a^5$.

[ZdravstvujNebo]

спасибо, с первой задачей все понятно

-- Пт май 13, 2011 21:32:13 --

Насчет второй задачи: чтобы найти элемент максимального порядка в S3xS8 надо видимо найти элементы максимального порядка в S3 и S8. У меня получилось, что в S3 максимальный порядок элемента - 3, в S8 - 5*3=15, в первой и (231) и (312) в степени 3 равны единичному, то есть таких элеметов может быть несколько?
а во второй искомый элемент должен раскладываться в произведение двух циклов длиной 5 и 3. Но элементов в S8, раскладывающихся в произведение двух циклов длиной 5 и 3 много, как выбрать нужный?

[VAL]

ZdravstvujNebo в сообщении #445493 писал(а):

Насчет второй задачи: чтобы найти элемент максимального порядка в S3xS8 надо видимо найти элементы максимального порядка в S3 и S8.

Аргументы?

Цитата:

У меня получилось, что в S3 максимальный порядок элемента - 3, в S8 - 5*3=15, в первой и (231) и (312) в степени 3 равны единичному, то есть таких элементов может быть несколько?
а во второй искомый элемент должен раскладываться в произведение двух циклов длиной 5 и 3. Но элементов в S8, раскладывающихся в произведение двух циклов длиной 5 и 3 много, как выбрать нужный?

Подойдет любой. Проблема не в этом. А в сомнительной посылке выше.

[ZdravstvujNebo]

мне казалось, что максимальный порядок элемента в S3xS8 равен НОК максимальных порядков элементов в S3 и S8, то есть 15, но похоже это не так, если взять из S3 элемент порядка 2, а из S8 15-ти, то их произведение будет порядка 30

-- Пт май 13, 2011 22:00:01 --

и похоже, что в S3xS8 максимальный порядок элемента будет 30, например элемент
(13)(2),(123)(45678)=321,23156784

[VAL]

ZdravstvujNebo в сообщении #445523 писал(а):

если взять из S3 элемент порядка 2, а из S8 15-ти, то их произведение будет порядка 30

Угу.

[ZdravstvujNebo]

спасибо =)