Доказать, что норма

[oohlala]

(A,B)-интерполяц. пара
Пространство $A\cap B$ состоит из элементов, общих для А и В, в нем вводится норма по формуле$||x||_{A\capB}=max(||x||_{A},||x||_{B})$
И тоже самое с A+B
$||x||_{A+B}=inf\{||u||_{A}+||v||_{B}\}$
дак доказать, что это норма?
т.е. в принципе 3 условия проверки знаю, но как их сюда применить?

[Dan B-Yallay]

Применять надо "в лоб". Какие-либо конкретные трудности?

[oohlala]

До этого сама ничего не доказывала, так что не знаю с чего начать и как оформить

[Dan B-Yallay]

oohlala в сообщении #445414 писал(а):

До этого сама ничего не доказывала, так что не знаю с чего начать и как оформить

А как это Вы тогда дошли до функционального анализа?
Выпишите здесь все три свойства нормы.

[ewert]

oohlala в сообщении #445414 писал(а):

не знаю с чего начать и как оформить

Формально записать для каждого из подозреваемых выражений все четыре (а не три) аксиомы нормы (а не "условия проверки"). Вот с этой формальности и начните. Потом надо будет убедится в том, что все они выполняются.

[Dan B-Yallay]

ewert писал(а):

Формально записать для каждого из подозреваемых выражений все четыре (а не три) аксиомы нормы.

Часто зависит от преподающего. Некоторые совмещают первые две аксиомы в одну.

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #445420 писал(а):

Некоторые совмещают первые две аксиомы в одну.

Я и сам их всегда совмещаю. Но при проверке -- по чисто техническим причинам их всё равно придётся развести.

[oohlala]

аксиомы:
$1) ||x||\geq 0$
$ ||x||=0 \Leftrightarrow x=0$
$2) ||\lambda x||=|\lambda|||x||$
$3) ||x+y|| \leq ||x||+||y||$

[Dan B-Yallay]

А теперь проверяйте каждую аксиому для нормы $ \|x\|_{A\cap B}=\max(\|x\|_A, \|x\|_B)$. Например вот так:

1) Надо доказать, что выполняется $\|x\|_{A\cap B} \geq 0.$ Так как из условия известно, что $\|x\|_A, \ \|x\|_B$- нормы, то для них верно: $\|x\|_A \geq 0, \ \|x\|_B \geq 0 $ следовательно $\max (\|x\|_A, \|x\|_B) \geq 0$.
Hо последнее по определению и есть норма в пересечении пространств, поэтому $ \|x\|_{A\cap B} \geq 0$. Дальше попытайтесь самостоятельно.

[ewert]

Да не так.

Чётко формулируем пункт 1а -- для нашей конкретной ситуации. Должно выполняться $max(\|x\|_A, \|x\|_B)\geqslant0$ всегда. Верно? -- ну очевидно (поскольку каждая из этих двух норм неотрицательна по определению нормы).

Теперь пункт 1б: $max(\|x\|_A, \|x\|_B)=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$ (кстати, доказывать достаточно лишь, что только тогда -- то, что тогда, будет следовать из второй аксиомы, если считать те аксиомы троично). Верно? -- ну тут уж пару заклинаний произнести, да, придётся.

И т.д., строго по пунктам.

[Dan B-Yallay]

ewert писал(а):

Да не так.

Не вижу принципиальных расхождений между моим 1) и Вашим 1а. Что до 1б - я оставил это TC на самостоятельную работу. (Как и 2- 3)