Доказать неравенство (интегралы)

[Scrypt]

Помогите, пожалуйста с доказательством:

Даны непрерывные на [0;1] функции f(x) и g(x). Доказать, что если они обе либо возрастают, либо убывают, то

$$\int\limits_{0}^{1}f(x)g(x)dx\ge\int\limits_{0}^{1}f(x)dx\int\limits_{0}^{1}g(x)dx$$

Подскажите, с чего начать и в какую сторону двигаться.

[gris]

Непрерывная на отрезке монотонная функция идёт от конечного минимума к конечному максимуму (или наоборот).

[Полосин]

Рассмотрите интегральные суммы на равномерной сетке.

[Padawan]

Нетрудно видеть, что если $f(x)$, $g(x)$ удовлетворяют данному неравенству, то $f(x)+C_1$, $g(x)+C_2$, и $-f(x)$, $-g(x)$ также ему удовлетворяют. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда $f(x),g(x)$ возрастают, $g(x)\geqslant 0$, $\int_0^1 f(x)\,dx=0$. По второй теореме о среднем $\int_0^1 f(x)g(x)\,dx=g(1)\int_\xi^1 f(x)\,dx\geqslant 0$, где $\xi\in [0,1]$.

[ewert]

С помощью всяких там замен сводим всё к случаю, когда обе функции возрастают, $g(x)$ положительна и $\int\limits_0^1g(x)\,dx=1$. Делаем в левом интеграле замену $y(x)=\int\limits_0^xg(t)\,dt\,,\ \ dy=g(x)\,dx\,.$ Тогда

$\int\limits_0^1f(x)\,g(x)\,dx=\int\limits_{y=0}^1f(x(y))\,dy\geqslant\int\limits_{0}^1f(y)\,dy=\int\limits_{0}^1f(y)\,dy\cdot\int\limits_{0}^1g(x)\,dx\,,$

поскольку $y(x)\leqslant x$ (функция выпукла вниз) и, следовательно, $x(y)\geqslant y$, поэтому и $f(x(y))\geqslant f(y)\ (\forall y)\,.$

-- Сб май 14, 2011 14:48:49 --

Да, кстати:

Padawan в сообщении #445497 писал(а):

По второй теореме о среднем $\int_0^1 f(x)g(x)\,dx=g(1)\int_\xi^1 f(x)\,dx\geqslant 0$, где $\xi\in [0,1]$.

Я чего-то не могу врубиться, где тут теорема о среднем (лень), но зато вот как можно (положительности $g(x)$ не требуется). Пусть $f(x)\geqslant0$ при $x\geqslant c$ и $f(x)\leqslant0$ при $x\leqslant c\,.$ Тогда

$\int\limits_c^1f(x)\,g(x)\,dx\geqslant\int\limits_c^1f(x)\,g(c)\,dx=\int\limits_0^c(-f(x))\,g(c)\,dx\geqslant\int\limits_0^c(-f(x))\,g(x)\,dx\,,$

откуда и $\int\limits_0^1f(x)\,g(x)\,dx\geqslant0\,.$ И, кстати, в любом варианте выходит, что фактически неравенство строгое, если только ни одна из функций не есть константа.

[Padawan]

Последний вариант доказательства красивый!