Решение урав. Шрёдингера/вычисление электронной плотности

[twist522]

Есть стаття.
Вначале этой статьи приводится результат решения уравнения Шрёдингера для частицы,
движущейся в поле с экспоненциальным потенциалом($v=\mu e^{\frac{z}{a}}$).
Плотность у них получается вот такая:

$$\tilde n(\tilde z)=3\int\limits_0^1 dk(\frac{2\gamma\tilde a k \sinh(2\gamma\tilde a \pi k)}{\pi})(K_{i2\gamma\tilde a k}(2\gamma\tilde a e^{\frac{\tilde z}{2\tilde a}}))^2 (1-k^2)$$

($K$ - модифицированная функция Бесселя).
Меня интересует переменная $k$ - какой её смысл, почему мы интегрируем по ней и именно от 0 к 1,
какой смысл множителя $(1-k^2)$ и $\frac{2\gamma\tilde a k \sinh(2\gamma\tilde a \pi k)}{\pi}$?
Всем, кто хоть как-нибудь поможет разобраться - спасибо наперёд.

[whiterussian]

Очень смутно помню из квантовой химии - разложение по полному базису в цилиндрически симметричном потенциале.
Могу ошибаться. Спецы помогут.

[twist522]

Спецы, помогите...

[Munin]

$k$ не умножается на координату, значит, это не волновой вектор. Зато она фигурирует в индексе (!) модифицированной функции Бесселя.

Я бы начал с того, чтобы построил графики этих мод. функций Бесселя для $k$ от 0 до 1 с шагом, например, 0,1.

Множители наверняка просто нормировка. Координата в них не входит.

[twist522]

Ну с $k$ мне более-менее понятно...
Теперь проблема состоит вот в чем:
У меня потенциал поля моделируется похожим образом

$$ \left\{ \begin{aligned} v=\mu e^{\frac{z}{a}},z<0\\ v=A,\ z>0\\ \end{aligned} \right. $$

Решение уравнения Шредингера на отрезке $z<0$ имеет вид:
$\psi(z)=C_1I_{i2a\sqrt{2\epsilon m}\hbar^{-1}}(2a\sqrt{2\mu m}\hbar^{-1}e^{\frac{z}{2a}})+C_2K_{i2a\sqrt{2\epsilon m}\hbar^{-1}}(2a\sqrt{2\mu m}\hbar^{-1}e^{\frac{z}{2a}})$
Но при $z\to-\infty$ обе функции Бесселя будут осциллировать в бесконечность. Каким образом я могу нормировать эту часть решения?
В идеале одна из констант должна занулится(это я себе так представляю), иначе мне не хватит условий чтобы найти спектр энергии $\epsilon$.
В приведенной статье - константа $C_1=0$ потому что функция $I$ уходит в бесконечность при $z\to+\infty$, хотя возможно в решении фигурирует лишь функция $K$ с других соображений - это я и пытаюсь узнать.
Как я могу нормировать функции Бесселя - и как может выглядеть решение в моем случае?

[Munin]

twist522 в сообщении #447791 писал(а):

Ну с $k$ мне более-менее понятно...

Вам да, а мне нет. Поделитесь своим пониманием. А то я не могу двигаться за вами дальше.

Как вообще выглядят эти функции Бесселя с мнимым индексом?

[twist522]

Ну если просто прировнять их решение с тем что получил я - получится $k^2=\frac{\epsilon}{\mu}$ - то есть интегрирование от 0 к 1 - суммирование по энергетическому спектру.
$\frac{2\gamma\tilde a k \sinh(2\gamma\tilde a \pi k)}{\pi}$ - наверняка получается из $K_{\nu}(z)=\frac{\pi}{2 \sin(\nu\pi)}(I_{\nu}(z)-I_{-\nu}(z))$ хотя в таком случае непонятно куда делся квадрат.
Так как $Im(K_{i\nu}(z))$=0(то есть с чисто мнимым индексом) то $(K_{i\nu}(z))^*=K_{i\nu}(z)$ и поэтому можно просто возвести в квадрат.
В смысле множителя $(1-k^2)$ я пока не уверен.

[twist522]

Модифицированные функции Бесселя при таком индексе и аргументе выглядят так:

[Munin]

А можете на первый график нанести ещё и функцию хотя бы с индексом $1{,}1i$?

Похоже, $k$ всё-таки аналогична по смыслу волновому числу.

twist522 в сообщении #447791 писал(а):

Но при $z\to-\infty$ обе функции Бесселя будут осциллировать в бесконечность. Каким образом я могу нормировать эту часть решения?

Так же, как падающую и отражённую волну в одномерной задаче рассеяния.

[twist522]

При увеличении коеф. возле $i$ в индексе функции Бесселя будет просто уменьшатся длина волны и амплитуда колебаний:

Munin в сообщении #449358 писал(а):

Похоже, всё-таки аналогична по смыслу волновому числу.

возможно..я почему-то думаю что этот параметр введен просто для упрощения внешнего вида результата.

Munin в сообщении #449358 писал(а):

Так же, как падающую и отражённую волну в одномерной задаче рассеяния.

Можно поподробнее - именно с этим вопросом(нормировка функций не ограниченных на бесконечности) не успел пока разобраться...

[twist522]

Внесите кто-нибудь ясность - я уже совсем запутался... спасибо.

[twist522]

Вот формула:
$F_1(z)=\frac{S}{\pi}\frac{2m\mu}{{\hbar}^2}\sum_{\alpha}|\phi_{\alpha}(z)|^2(1-\epsilon_{\alpha}^*)$

Здесь $\epsilon_{\alpha}^*=\frac{\epsilon_\alpha}{\mu}$, $S$ - площадь поверхности.

Она получается вроде из:
$F_1(z)\frac{N}{V}=\sum_{{\vec p,\alpha}}|\psi_{{\vec p,\alpha}}(\vec r)|^2 n_{{\vec p,\alpha}}(E_{{\vec p,\alpha}})$

Поправьте меня - здесь точно что-то неправильно.

Ну в общем - тогда понятно что там делает $(1-k^2)$ - это и будет $(1-\epsilon_{\alpha}^*)$.
А от суммы перешли к интегралу.

Ещё одно - для фундаментального решения уравнения Шредингера в данном случае не обязательна функция $K_\nu (z)$ - достаточно взять $I_\nu (z)$ и $I_{-\nu} (z)$ - ведь детерминант Вронского будет равен $\frac{-2\sin(\nu\pi)}{\pi z}$ - а $\nu$ - чисто мнимой индекс.

Но вот что мне остается непонятным - это $\frac{2\gamma\tilde a k \sinh(2\gamma\tilde a \pi k)}{\pi}$ - конечно если бы вместо него было что-то вроде $(\frac{2\sin\nu\pi}{\pi})^2$ - то вместе с $(K_{\nu}(z))^2$ - такой множитель дал бы $(I_{\nu}(z) - I_{-\nu}(z))^2$ (свойство Бесселевых функций)

[Munin]

twist522 в сообщении #449462 писал(а):

При увеличении коеф. возле $i$ в индексе функции Бесселя будет просто уменьшатся длина волны и амплитуда колебаний

Ну, судя по графикам, $k$ у вас в точности и есть волновое число. В индекс его загнали только из-за того, что экспонента не становится строго горизонтальным потенциалом нигде до бесконечности. Но вы можете уверенно полагаться, что ваши функции Бесселя почти на всей отрицательной полуоси - это простые синусоиды плоских волн.

Гиперболический синус выражается через обычный - может быть, это поможет вам увидеть формулу в более знакомом виде.

[twist522]

Munin в сообщении #449717 писал(а):

Гиперболический синус выражается через обычный - может быть, это поможет вам увидеть формулу в более знакомом виде.

Он то выражается, но формула в не очень знакомом виде получается.

Дело в том, что в моем случае:

$$ \left\{ \begin{aligned} v=\mu e^{\frac{z}{a}},z<0\\ v=A,\ z>0\\ \end{aligned} \right. $$

в решении слева - останется 2 неизвестных константы(две функции Бесселя), справа - 1 константа(другую смогу занулить)... Итого 2 условия сшивки + условие нормировки для 3 неизвестных - а ведь ещё нужно спектр энергии найти.. Или я ошибаюсь - все найдется?

[Munin]

Может, вам надо просто взять тайм-аут, и поупражняться просто с разными функциями Бесселя, чтобы вы соотношения между ними "чувствовали" на том же уровне, что и тригонометрию?