"Безразмерная" система уравнений

[Xenia1996]

Доказать, что система

$\begin{cases} x_1x_2+1=x_1+x_2 \\ x_2=x_3x_4 \\ x_3x_4+1=x_3+x_4 \\ x_4=x_5x_6 \\ x_5x_6+1=x_5+x_6 \\ \dots \\ x_{2n-2}=x_{2n-1}x_{2n} \\ x_{2n-1}x_{2n}+1=x_{2n-1}+x_{2n} \end{cases}$

имеет бесконечно много решений при любом натуральном $n>1$.

[worm2]

Что-то больно просто. $(1,a,1,a,\dots,1,a)$ — решение при любом $a$.

[Xenia1996]

worm2 в сообщении #444999 писал(а):

Что-то больно просто. $(1,a,1,a,\dots,1,a)$ — решение при любом $a$.

Оно и должно было быть просто (до определённой степени, конечно).
На московской олимпиаде предлагалось уравнение:

$xy+1=x+y$.

Меня возмутила его простота, и я попыталась его усложнить, да, видимо, тщетно
И вообще, я не понимаю, как на олимпиадах можно такие элементарные задачи предлагать

[BapuK]

А если $x_i> 1$ для любого $i$? Или тоже просто?

[Xenia1996]

BapuK в сообщении #445095 писал(а):

А если $x_i> 1$ для любого $i$? Или тоже просто?

Все больше 1 быть не могут, ибо решением уравнения $xy+1=x+y$ является пара, в которой одно из чисел обязано быть единичкой.