Еще одно неравенство

[Sasha2]

Вот ту в связи с одной задачей возник у меня такой вопрос, а верно ли такое неравенство:
$a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd \ge 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2)$
Все числа положительны.
А если верно, то верно ли оно и для неотрицательных чисел?

Вообще интересно, а есть ли в природе какой-нибудь вариант неравенства Шура, но уже для четырех чисел?

[Sergic Primazon]

Try : (0,1,1,1)

[Sasha2]

Понятно, значит случай неотрицательных уже нарушает данное неравенство, а как насчет всех положительных?

[Хорхе]

Sasha2 в сообщении #444949 писал(а):

Понятно, значит случай неотрицательных уже нарушает данное неравенство, а как насчет всех положительных?

$(\varepsilon,1,1,1)$.

[arqady]

Следующее неравенство для неотрицательных $a$, $b$, $c$ и $d$ уже верно.

$$a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd \ge \sqrt2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2-4abcd\right)$$

[Sasha2]

Ну у Вас там есть или нет какой-либо аналог неравенства Шура для таких неравенств, или тут что-то другое?

[arqady]

Sasha2 в сообщении #444959 писал(а):

Ну у Вас там есть или нет какой-либо аналог неравенства Шура для таких неравенств, или тут что-то другое?

Я не совсем понимаю, как Вы собираетесь составлять Шура для четырёх переменных?
Может, так:

$$\sum\limits_{cyc}a(a-b)(a-c)(a-d)\geq0$$

Мне не верится, что оно верно, хотя проверить это очень легко!

-- Чт май 12, 2011 08:26:55 --

Да! Оно неверно!

[Sasha2]

Ну понятно, что в таком виде оно не верно (кстати, а вот для пяти переменных возникает ощущение, что оно уже верно, в смысле, что Шур верен для несчетного числа переменных).
Наверно другая какая-то форма должна быть у этого неравенства или как, чтобы не биться и не искать того чего нет и быть не может, просто тогда хотелось бы услашать, что неравенство Шура справедливо только для трех переменных и никаких обощений на большее число переменных не допускает.