Интегральное уравнение

[myra_panama]

Доказать , что выражение :
$\phi(x)=c\cdot exp[A(a)\omega(x)-W(x)]+f(x)-\int\limits_{a}^{x}exp{[W(t)-W(x)+A(a)[\omega(x)-\omega(t)]]\frac{A(t)}{(t-a)^{\alpha}}f(t)dt$
удовлетворяет уравнению
$\phi(x)+\int\limits_{a}^{x}\frac{A(t)}{(t-a)^{\alpha}}{\phi(t)}dt=f(x)$
где ,
$\omega(x)=\frac1{(\alpha-1)x^{\alpha-1}}$
$W(x)=\int\limits_{a}^{x}\frac{A(t)-A(a)}{t-a}dt$

(Оффтоп)

если подставит выражение в уравнении получаем двойной интеграл , далще шо то ни то.......

[Vince Diesel]

Можно продифференцировать ураавнение.

[ewert]

А Вы продифференцируйте интегральное уравнение по иксу. Получите линейное дифференциальное уравнение с начальным условием $\varphi(a)=f(a)$. То длинное выражение, которое Вам надо проверить -- это наверняка просто результат применения стандартной общей формулы для решения такого дифура, полученной методом вариации произвольной постоянной (ну и потом интегрирования по частям).

Только у Вас там явно какая-то путаница. Во-первых, никакого $c$ там быть не может -- решение интегрального уравнения единственно. Во-вторых, потерян показатель степени знаменателе у $W$. В-третьих, $\omega$ и $W$ должны складываться с одинаковыми знаками, а не с разными. В-четвёртых, начальное условие не выполняется, да и вообще самая первая экспонента должна не прибавляться к интегралу, а умножаться на него.

[myra_panama]

ewert , я уж догодал , что если продифф - ть уравнение , то легко будеть доказать, (используя метод вариации постоянного) . Но здесь есть одно ' но' Не дифференцируя уравнения , нужно доказать ,что справедлива это равенства.

[ewert]

myra_panama в сообщении #444660 писал(а):

Не дифференцируя уравнения , нужно доказать

Это -- явное издевательство. Ну уж если приспичило, то попробуйте тупо проинтегрировать это выражение, сверните получившийся повторный интеграл в одинарный, изменив порядок в знаменателе, и выровняйте интегрированием по частям показатели степени в знаменателях подынтегральных выражений этого интеграла и соседнего. Авось и сократится. Но это -- издевательство.

[myra_panama]

А почему издевательство , помоему отсюда вытекает , что для функции $\phi(x)$ не нужен условия дифференцировании, достаточно только непрерывность.

[ewert]

myra_panama в сообщении #444676 писал(а):

для функции $\phi(x)$ не нужен условия дифференцировании, достаточно только непрерывность.

Дифференцируемость автоматом следует из непрерывности. Другое дело, что то интегральное уравнение, которое предлагается проверить, является обобщением соответствующего дифференциального, (в отличие от дифференциального) имеющим формальный смысл и для разрывных коэффициентов. Но это -- совсем отдельная тема, не имеющая никакого отношения к конкретным формулам. Короче -- издевательство; телега поперёд лошади.