2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интегральное уравнение
Сообщение05.05.2011, 12:20 
Доказать , что выражение :
$\phi(x)=c\cdot exp[A(a)\omega(x)-W(x)]+f(x)-\int\limits_{a}^{x}exp{[W(t)-W(x)+A(a)[\omega(x)-\omega(t)]]\frac{A(t)}{(t-a)^{\alpha}}f(t)dt$
удовлетворяет уравнению
$\phi(x)+\int\limits_{a}^{x}\frac{A(t)}{(t-a)^{\alpha}}{\phi(t)}dt=f(x)$
где ,
$\omega(x)=\frac1{(\alpha-1)x^{\alpha-1}}$
$W(x)=\int\limits_{a}^{x}\frac{A(t)-A(a)}{t-a}dt$

(Оффтоп)

если подставит выражение в уравнении получаем двойной интеграл , далще шо то ни то.......

 
 
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение05.05.2011, 13:13 
Можно продифференцировать ураавнение.

 
 
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение05.05.2011, 13:28 
А Вы продифференцируйте интегральное уравнение по иксу. Получите линейное дифференциальное уравнение с начальным условием $\varphi(a)=f(a)$. То длинное выражение, которое Вам надо проверить -- это наверняка просто результат применения стандартной общей формулы для решения такого дифура, полученной методом вариации произвольной постоянной (ну и потом интегрирования по частям).

Только у Вас там явно какая-то путаница. Во-первых, никакого $c$ там быть не может -- решение интегрального уравнения единственно. Во-вторых, потерян показатель степени знаменателе у $W$. В-третьих, $\omega$ и $W$ должны складываться с одинаковыми знаками, а не с разными. В-четвёртых, начальное условие не выполняется, да и вообще самая первая экспонента должна не прибавляться к интегралу, а умножаться на него.

 
 
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение11.05.2011, 14:00 
ewert , я уж догодал , что если продифф - ть уравнение , то легко будеть доказать, (используя метод вариации постоянного) . Но здесь есть одно ' но' Не дифференцируя уравнения , нужно доказать ,что справедлива это равенства.

 
 
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение11.05.2011, 14:21 
myra_panama в сообщении #444660 писал(а):
Не дифференцируя уравнения , нужно доказать

Это -- явное издевательство. Ну уж если приспичило, то попробуйте тупо проинтегрировать это выражение, сверните получившийся повторный интеграл в одинарный, изменив порядок в знаменателе, и выровняйте интегрированием по частям показатели степени в знаменателях подынтегральных выражений этого интеграла и соседнего. Авось и сократится. Но это -- издевательство.

 
 
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение11.05.2011, 14:25 
А почему издевательство , помоему отсюда вытекает , что для функции $\phi(x)$ не нужен условия дифференцировании, достаточно только непрерывность.

 
 
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение11.05.2011, 14:36 
myra_panama в сообщении #444676 писал(а):
для функции $\phi(x)$ не нужен условия дифференцировании, достаточно только непрерывность.

Дифференцируемость автоматом следует из непрерывности. Другое дело, что то интегральное уравнение, которое предлагается проверить, является обобщением соответствующего дифференциального, (в отличие от дифференциального) имеющим формальный смысл и для разрывных коэффициентов. Но это -- совсем отдельная тема, не имеющая никакого отношения к конкретным формулам. Короче -- издевательство; телега поперёд лошади.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group