Тройной интеграл по области

[compaurum]

Вычислить тройной интеграл по области $T$ограниченной поверхностями.

$$\iiint\limits_T \frac{xzdxdydz}{x^2+y^2-R^2}$$

$T : z^2=\frac{h^2}{R} (x^2+y^2) , z=h, x\geq 0 , y \geq 0$
Я не могу понять как выглядит эта область. Как ее можно представить?

[Dan B-Yallay]

Четверть усеченного конуса.

[Gortaur]

Это кусочек конуса. Четвертинка.

[compaurum]

Ну тогда такой интеграл будет правильным?

$$\int\limits_0^R dx \int\limits_0^x dy \int\limits_0^{\frac{2y^2h^2}R} \frac {xzdz}{x^2+y^2-R^2}$$

[compaurum]

up

[ИСН]

...квадратную дырку и круглую затычку. По результатам этого экзамена все кандидаты делятся на умных и сильных...
Конус видели? А? Конус такой конус. Теперь проекция. Проекция конуса вниз - это что?

[compaurum]

Круг. Вы имеете ввиду нужно будет взять двойной интеграл от проекции конуса?

[ИСН]

По проекции конуса. Это для начала.
С третьим тоже проблемы, но это потом.

[ewert]

compaurum в сообщении #444624 писал(а):

Вы имеете ввиду нужно будет взять двойной интеграл от проекции

Только не "от", а "по". Да. Всегда надо именно так. Ну т.е. в подавляющем большинстве случаев так -- снаружи двойной интеграл по проекции, внутри -- однократный интеграл по третьей переменной. Хотя изредка выгоднее и наоборот.

[compaurum]

Проекция данного конуса - круг с центором в начале координат. По условию $y\geq0 , x\geq 0$. Значит пределы интегрирования начинаются с нуля. Уравнение окружности: $x^2+y^2=R^2 \Leftrightarrow y=\sqrt {R^2-x^2}$

$$\int\limits_0^Rdx \int\limits_0^{\sqrt {R^2-x^2}}dy$$

А третий интеграл писать внутри первых двух?

[ewert]

compaurum в сообщении #444648 писал(а):

А третий интеграл писать внутри первых двух?

Да. После чего перейти во внешнем двойном интеграле к полярным координатам.

[compaurum]

$$\int\limits_0^Rdx \int\limits_0^{\sqrt {R^2-x^2}}dy\int\limits_0^{\sqrt{\frac{h^2}{R}(x^2+y^2)}} \frac {xzdz}{x^2+y^2-R^2}$$

Хотя не уверен на счет верхнего предела третьего интеграла. Это уже усеченный конус или еще нужно вычитать часть котоую нужно усечь?

А зачем переходить к полярным координатам?

[ИСН]

Ещё раз: какими поверхностями у Вас всё это дело ограничено? Было там z=0? Ой, или, может быть, z=1? Или 2? Не помните?

-- Ср, 2011-05-11, 16:10 --

Переходить зачем? Ну, не хотите - не переходите.

[compaurum]

$z=h$
Чего-то я запутался. Это нижний предел интегрирования?

[ewert]

compaurum в сообщении #444711 писал(а):

Чего-то я запутался.

Это потому, что Вы пытаетесь интегрировать, не приходя в сознание. Иначе Вы бы на автомате выписали в качестве верхнего и нижнего пределов внутреннего интеграла функции, задающие соотв. верхнюю и нижнюю поверхности.