Новое тождество Рамануджана

[RIP]

Кто знает, где можно найти док-во формулы Рамануджана

$$1+\frac1{3!!}+\frac1{5!!}+\frac1{7!!}+\ldots+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac2{1+\cfrac3{1+\cfrac4{1+\ldots}}}}}=\sqrt{\frac{\pi e}2}$$

[Alik]

По моему я давал ссылку на этот вывод в топике
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1419&pos ... c&start=75
возможно это какой-то из questions:
284, 359, 507, 525, 524, 541, 682, 699, 723, 1076
на сайте http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/c ... index.html
А, вообще, найдите записные книжки Рамануджана

[Lion]

В одном журнале нашел следующую формулу, похожую на формулы Рамануджана:

$$\sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{13}+\cos\frac{5\pi}{13}}+\sqrt[3]{\cos\frac{3\pi}{13}+\cos\frac{11\pi}{13}}+\sqrt[3]{\cos\frac{7\pi}{13}+\cos\frac{9\pi}{13}}=\sqrt[3]{\frac{7-3\sqrt[3]{13}}{2}}.$$

Предлагаю всем желающим попробовать доказать ее.
P.S. Аналогичные (но более длинные) формулы можно выписать и для некоторых других косинусов.

[RIP]

Однако, вдоволь поразвлекался с этой задачей.
Обозначим

$$a=\sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{13}+\cos\frac{5\pi}{13}};\ b=\sqrt[3]{\cos\frac{3\pi}{13}+\cos\frac{11\pi}{13}};\ c=\sqrt[3]{\cos\frac{7\pi}{13}+\cos\frac{9\pi}{13}}.$$

Легко проверить, что

$$(x-a^3)(x-b^3)(x-c^3)=x^3-\frac12x^2-x-\frac18.$$

В частности,

$$abc=\frac12;\ a^3+b^3+c^3=\frac12;\ a^6+b^6+c^6=\frac94.$$

Обозначим

$$\sigma_1=a+b+c;\ \sigma_2=ab+ac+bc;\ \sigma_3=abc.$$

Используя формулы Ньютона либо формулу Варинга, легко получить (а можно проверить непосредственно )

$$S_3:=a^3+b^3+c^3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3;$$

$$S_6:=a^6+b^6+c^6=\sigma_1^6-6\sigma_1^4\sigma_2+6\sigma_1^3\sigma_3+9\sigma_1^2\sigma_2^2-12\sigma_1\sigma_2\sigma_3-2\sigma_2^3+3\sigma_3^2.$$

Подставляем известные $\sigma_3=S_3=\frac12,\ S_6=\frac94$, выражовываем из первого уравнения

$$\sigma_2=\frac{\sigma_1^3+1}{3\sigma_1},$$

подставляем эту крокодилу во второе уравнение, которое несложно привести к виду

$$(2\sigma_1^3-7)^3=-351=-3^3\cdot13.$$

Вот такие калачи.
P.S. Пробовал доказать непосредственно, но что-то не получилось.