Интеграл от рац. дроби. Уход в тангенс. Где ошибка?

[SleepWalker]

Имеется неопределенный интеграл
$\int \frac{x^2dx}{(x^2 + 1)^2}$
Разными путями пытался его решить, но остановился на пути тригонометрической замены: x=tg(t)
Тогда
$\tg^2x + 1 = \frac{1}{\cos^2x}$
и dx:
$dx = \frac{dt}{\cos^2t}$
После сокращений получаю:
$\int \cos^2tdt$
Тут меня и начинает настораживать правильность моих действий. Ведь если сейчас понизить степень, то ответ будет содержать ф-ю sin(t). А в теории нас учили, что интегралы от рациональных дробей выражаются через рациональные дроби, арктангенсы и логарифмы. Да и решение через пакет Mathematica не содержит никаких синусов.

[Хорхе]

SleepWalker в сообщении #443842 писал(а):

А в теории нас учили, что интегралы от рациональных дробей выражаются через рациональные дроби, арктангенсы и логарифмы.

А обратную замену делать не учили?

[gris]

Забыли про $x^2$. Так что останется синус в квадрате, но от $t$, то есть в ответе будет синус или косинус от арктангенса, что сведётся к нужным функциям.

[SleepWalker]

Про обратную замену в курсе, что в итоге получим синус от арктангенса.
Видимо проблема в том, что я не знаю никаких преобразований как можно расписать sin(arctgx), тогда прошу подсказки, как расписать sin от arctgx к необходимому в ответе виду?

[gris]

Вообще-то там будет синус двойного угла, который рационльно выражается через тангенс. После подстановки мы получим тангенс от арктангенса, то есть $x$.

[SleepWalker]

gris в сообщении #443863 писал(а):

Вообще-то там будет синус двойного угла, который рационльно выражается через тангенс. После подстановки мы получим тангенс от арктангенса, то есть $x$.

Спасибо, дальше думаю разберусь))

[ИСН]

А нечего на ровном месте придумывать разные замены потому что. У Вас интеграл от рациональной функции.

[SleepWalker]

ИСН в сообщении #443871 писал(а):

А нечего на ровном месте придумывать разные замены потому что. У Вас интеграл от рациональной функции.

Почему? Насколько я понимаю, то данная дробь представляет собой четвертый тип дробей. Не проще ли уйти в замену, когда есть такая возможность?


gris

Цитата:

Забыли про $x^2$. Так что останется синус в квадрате, но от , то есть в ответе будет синус или косинус от арктангенса, что сведётся к нужным функциям.

Понял, что Вы имели в виду. Да, я забыл указать, что сначала разделил дробь на две путем $x^2 + 1 - 1$ в числителе. Первая дробь сразу равна табличному арктангесу, а вот именно во второй и возник вопрос про замену, но уже всё решил Подзабыл я тригонометрию надо повторять/вспоминать

[maxmatem]

В принципе, изначально можно было в числителе прибавить единицу и вычесть, и разбить на два интеграла, где первый интеграл табличный а со вторым чуть повозиться.

[SleepWalker]

maxmatem в сообщении #444079 писал(а):

В принципе, изначально можно было в числителе прибавить единицу и вычесть, и разбить на два интеграла, где первый интеграл табличный а со вторым чуть повозиться.

Так и было сделано (см. моё предыдущее сообщение). Собственно тема и посвящана второму интегралу, в нём я делал замену.

[gris]

Вообще именно в данном интеграле бросается в глаза знаменатель. Сам он происходит от арктангенса. Квадрат его от дифференцирования дроби. В числителе вторая степень. Так и тянет использовать неопределённые коэффициенты, только не для разложения дроби, а уже для ответа. То есть написать ответ

$$A\arctg x +\dfrac {Bx+C}{x^2+1} +D$$

продифференцировать его и приравнять подынтегральному выражению.

[ewert]

SleepWalker в сообщении #444053 писал(а):

Не проще ли уйти в замену, когда есть такая возможность?

Можно и уйти. Никто запретить не в силах. Но следуя принципу экономии мыслей -- проще всё-таки проинтегрировать по частям, следуя шаблону. Так, кстати, и короче выйдет (в данном конкретном случае; ну а иногда, разумеется, выходит и иначе).

-- Пн май 09, 2011 21:28:44 --

maxmatem в сообщении #444079 писал(а):

В принципе, изначально можно было в числителе прибавить единицу и вычесть, и разбить на два интеграла, где первый интеграл табличный а со вторым чуть повозиться.

Ну да, повозиться. Сперва вычтя ту самую единичка, которая была прибавлена, а потом ещё раз прибавив.

[bot]

ewert в сообщении #444100 писал(а):

проще всё-таки проинтегрировать по частям

Угу, всего один раз - устная задача.