как решить сравнение многочлена по модулю?

[malvinkavika]

у меня есть многочлен $f(x)=3 x^3-5 x^2-15$
он сравним с 0 по модулю 98.
решение: $m=98=2 7^2$
можно разложить на $f(x)=0$ по модулю 2
$f(x)=0$ по модулю 49
при $f(x)=0$ по модулю 2 у меня нету решений,так как 0 и 1 не подходят.
а при $f(x)=0$ по модулю 49 выходит что $x=3$ по модулю 7-решение,но наверное должно быть 3 решения!я не знаю что дальше делать-помогите пожалуйста!!!

[Sonic86]

malvinkavika писал(а):

решение: $m=98=2 7^2$

Правильно писать $m=98=2 \cdot 7^2$

malvinkavika писал(а):

при $f(x)=0$ по модулю 2 у меня нету решений,так как 0 и 1 не подходят.

Значит все - решений нет совсем. Даже очевидно и на словах: многочлен имеет все коэффициенты нечетные и число членов нечетно, значит все его значения - нечетные, значит - ненулевые.

malvinkavika писал(а):

но наверное должно быть 3 решения!

Нет, если $P_n(x)$ - многочлен степени $n$, то в общем случае сравнение $P_n (x) \equiv 0 \pmod p$ при простом $p>2$ имеет решений не более $n$ (потому что $\mathbb{Z}_p$ - поле), но сколько точно - зависит от многочлена. Например, сравнение $x^{p-1} \equiv 2 \pmod p$ не имеет решений совсем при простом $p$.

[alex1910]

Sonic86 в сообщении #444097 писал(а):

malvinkavika писал(а):

решение: $m=98=2 7^2$

Правильно писать $m=98=2 \cdot 7^2$

malvinkavika писал(а):

при $f(x)=0$ по модулю 2 у меня нету решений,так как 0 и 1 не подходят.

Значит все - решений нет совсем. Даже очевидно и на словах: многочлен имеет все коэффициенты нечетные и число членов нечетно, значит все его значения - нечетные, значит - ненулевые.

malvinkavika писал(а):

но наверное должно быть 3 решения!

Нет, если $P_n(x)$ - многочлен степени $n$, то в общем случае решений не более $n$, но сколько точно - зависит от многочлена. Например, сравнение $x^p \equiv 2 \pmod p$ не имеет решений совсем при простом $p$.

Не вводите вы людей в заблуждение.
x*x-1=0(mod 8) имеет 4 решения.

[Sonic86]

Sonic86 писал(а):

Нет, если $P_n(x)$ - многочлен степени $n$, то в общем случае решений не более $n$,

alex1910 писал(а):

Не вводите вы людей в заблуждение.
$x^2-1 \equiv 0 pmod 8 имеет 4 решения.

Соврал. Сейчас исправлю.

-- Пн май 09, 2011 23:38:42 --

Исправил. Гляньте, пожалуйста.

[alex1910]

Sonic86 в сообщении #444108 писал(а):

Sonic86 писал(а):

Нет, если $P_n(x)$ - многочлен степени $n$, то в общем случае решений не более $n$,

alex1910 писал(а):

Не вводите вы людей в заблуждение.
$x^2-1 \equiv 0 pmod 8 имеет 4 решения.

Соврал. Сейчас исправлю.

-- Пн май 09, 2011 23:38:42 --

Исправил. Гляньте, пожалуйста.

Поле - это уже лучше. Вот только знает ли топик-стартер, что это такое.

[Sonic86]

alex1910 писал(а):

Поле - это уже лучше. Вот только знает ли топик-стартер, что это такое.

В принципе можно кратко объяснить зачем там поле. Даже на примерах.
Интересно, как правильнее будет сказать:
1. потому что поле
2. потому что область целостности
Я может плохо помню, но по-моему, надо 2-й вариант брать...

[malvinkavika]

мне сказали-что все просто супер выходит-пример из учебника-но ничего то суперски не выходит!решений нету!

[Sonic86]

Так все суперски и вышло - решений нет
Я забыл сказать! Вы можете просто $98$ попарно несравнимых остатков перебрать и вычислить значение многочлена в них по модулю $98$. Это делается за 1 мин в Excele. Если решений нет, то это будет самый твердый аргумент

[malvinkavika]

спасибо большое

[alex1910]

Sonic86 в сообщении #444117 писал(а):

alex1910 писал(а):

Поле - это уже лучше. Вот только знает ли топик-стартер, что это такое.

В принципе можно кратко объяснить зачем там поле. Даже на примерах.
Интересно, как правильнее будет сказать:
1. потому что поле
2. потому что область целостности
Я может плохо помню, но по-моему, надо 2-й вариант брать...

Теорема Безу + отсутствие делителей нуля спасут гиганта мысли.

[RIP]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #444097 писал(а):

Например, сравнение $x^p \equiv 2 \pmod p$ не имеет решений совсем при простом $p$.

Напротив, $x=2$ --- решение всегда. Вы, наверное, имели в виду $x^{p-1}$ (и $p>2$)?

[Sonic86]

RIP в сообщении #444203 писал(а):

Sonic86 в сообщении #444097 писал(а):
Например, сравнение $x^p \equiv 2 \pmod p$ не имеет решений совсем при простом $p$.
Напротив, $x=2$ --- решение всегда. Вы, наверное, имели в виду $x^{p-1}$ (и $p>2$)?

Да, сейчас тоже исправлю.