Шевеление оператора

[Gortaur]

Рассмотрим компакт $E$, скажем $[0,1]$. Пусть на множестве борелевских функций $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ задан линейный оператор $G$. В общем случае уравнение

$$ f = Gf $$

имеет бесконечное множество корней, но хотелось бы знать, является ли множество таких операторов "меры нуль" в определенном смысле. Более точно, есть ли факт, что для любого оператора $G$ существует сколь угодно малое шевеление $G\to G'$ такое, что

$$ f = G'f $$

имеет единственный корень? Вопрос конечно, какая для этого должна быть введена метрика в операторном пространстве.


P.S. В деталях, $G$ - стохастический интегральный оператор вида

$$ Gf = \int\limits_{[0,1]}f(y)K(x,dy), $$

где $K$ - стохастическое ядро:

$$ K(x,A) = \mathsf{P}(X_1 \in A|X_0 = x) $$

для некоторого марковского процесса $X$. При этом у $K(x,dy)$ не обязательно есть плотность $\phi(x,y) = \frac{K(x,dy)}{dy}$.

[Хорхе]

Если топология задана операторной нормой, то множество непрерывных операторов, не имеющих непрерывного обратного, является тощим. Да и вообще нигде не плотным. В топологии сильной сходимости, видимо, тоже.

Короче говоря, ответ да.

[Gortaur]

Если, скажем, берем только операторы с плотностью и определяем норму между операторами как равномерную норму между плотностями, это какая топология?