Сходимость кратных рядов

[BapuK]

Имеется кратный ряд вида $\sum\limits_{m,n=1}^\infty a_{mn}$. При всяком фиксированном $m$ полученный ряд по $n$ сходится, при всяком фиксированном $n$ ряд по $m$ тоже сходится. Следует ли отсюда, что исходный ряд сходится?
ЗЫ подскажите пожалуйста какую-нибудь книжку по кратным рядам...

(Оффтоп)

Кхм.. почему-то n заключенная в знаки долларов не хочет нормально писаться :(

[caxap]

(Мнение студента)

Если $a_{mn}=f(m)g(n)$, то

$$\sum_{m,n>0} a_{mn}=\sum_{m>0}f(m)\cdot\sum_{n>0} g(n)<\infty$$

т. к. каждая сумма в отдельности по условию сходится.

В общем случая я не знаю. Можно попытаться придумать контрпример. $a_{mn}=\dfrac {1}{m^n}$ почти подходит.

BapuK в сообщении #443814 писал(а):

ЗЫ подскажите пожалуйста какую-нибудь книжку по кратным рядам...

Конкретная математика?

[Sonic86]

Про кратные ряды есть и в Фихтенгольце.

[obar]

Не следует. В качестве примера можно рассмотреть ряд

$$ \sum\frac{(-1)^{n+m}}{\sqrt{nm}} $$

Если же при фиксированных $n$ и $m$ ряды абсолютно сходятся, то, наверное, следует.

[Хорхе]

Даже абсолютной сходимости при фиксированных $m,n$ мало:

$$ \sum_{m,n=1}^\infty \frac{1}{(m+n)^2}. $$