Построить отображение

[Falex]

Еще раз повторюсь:мне надо в виде одной функции,а не в виде 4-х отдельных уравнений для отрезков ))
Говорят,что вроде через модули можно как-то..

[Someone]

Falex писал(а):

Говорят,что вроде через модули можно как-то..

Через модули - так через модули.

Ищем функцию вида $f(t)=\gamma_0 t+\gamma_1|t-1|+\gamma_2|t-2|+\ldots+\gamma_{n-1}|t-(n-1)|+\gamma_n$, удовлетворяющая условиям
$\begin{cases}f(0)=c_0\text{,}\\ f(1)=c_1\text{,}\\ f(2)=c_2\text{,}\\ \ldots\text{,}\\ f(n-1)=c_{n-1}\text{,}\\ f(n)=c_n\text{.}\end{cases}\eqno{(1)}$
Здесь числа $c_0,c_1,c_2,\ldots,c_{n-1},c_n$ могут быть и действительными, и комплексными. Если Вы хотите получить замкнутую ломаную, должно быть $c_n=c_0$.
Подставляя в условия (1) нашу функцию, получим
$\begin{cases}\gamma_1+2\gamma_2+\ldots+(n-1)\gamma_{n-1}+\gamma_n=c_0\text{,}\\ \gamma_0+\gamma_2+\ldots+(n-2)\gamma_{n-1}+\gamma_n=c_1\text{,}\\ 2\gamma_0+\gamma_1+\ldots+(n-3)\gamma_{n-1}+\gamma_n=c_2\text{,}\\ \ldots\\ (n-1)\gamma_0+(n-2)\gamma_1+(n-3)\gamma_2+\ldots+\gamma_n=c_{n-1}\text{,}\\ n\gamma_0+(n-1)\gamma_1+(n-2)\gamma_2+\ldots+\gamma_{n-1}+\gamma_n=c_n\text{.}\end{cases}\eqno{(2)}$
Основная матрица этой системы имеет довольно регулярный вид:
$A_n=\begin{pmatrix}0&1&2&3&4&\ldots&n-2&n-1&1\\ 1&0&1&2&3&\ldots&n-3&n-2&1\\ 2&1&0&1&2&\ldots&n-4&n-3&1\\ 3&2&1&0&1&\ldots&n-5&n-4&1\\ 4&3&2&1&0&\ldots&n-5&n-4&1\\ \hdotsfor{9}\\ n-2&n-3&n-4&n-5&n-6&\ldots&0&1&1\\ n-1&n-2&n-3&n-4&n-5&\ldots&1&0&1\\ n&n-1&n-2&n-3&n-4&\ldots&2&1&1\end{pmatrix}\eqno{(3)}$
Возможно даже, что решение системы имеет какой-нибудь совсем простой и регулярный вид.

[Someone]

Действительно, обратные матрицы имеют очень простой вид:
$A_1=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&1\end{pmatrix}$, $A_1^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\ 1&0\end{pmatrix}$;
$A_2=\begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&0&1\\ 2&1&1\end{pmatrix}$, $A_2^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac 12&0&\frac 12\\ \frac 12&-1&\frac 12\\ \frac 12&1&-\frac 12\end{pmatrix}$;
$A_3=\begin{pmatrix}0&1&2&1\\ 1&0&1&1\\ 2&1&0&1\\ 3&2&1&1\end{pmatrix}$, $A_3^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac 12&\frac 12&-\frac 12&\frac 12\\ \frac 12&-1&\frac 12&0\\ 0&\frac 12&-1&\frac 12\\ \frac 12&0&\frac 32&-1\end{pmatrix}$;
$A_4=\begin{pmatrix}0&1&2&3&1\\ 1&0&1&2&1\\ 2&1&0&1&1\\ 3&2&1&0&1\\ 4&3&2&1&1\end{pmatrix}$, $A_4^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac 12&\frac 12&0&-\frac 12&\frac 12\\ \frac 12&-1&\frac 12&0&0\\ 0&\frac 12&-1&\frac 12&0\\ 0&0&\frac 12&-1&\frac 12\\ \frac 12&0&0&2&-\frac 32\end{pmatrix}$;
$A_5=\begin{pmatrix}0&1&2&3&4&1\\ 1&0&1&2&3&1\\ 2&1&0&1&2&1\\ 3&2&1&0&1&1\\ 4&3&2&1&0&1\\ 5&4&3&2&1&1\end{pmatrix}$, $A_5^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac 12&\frac 12&0&0&-\frac 12&\frac 12\\ \frac 12&-1&\frac 12&0&0&0\\ 0&\frac 12&-1&\frac 12&0&0\\ 0&0&\frac 12&-1&\frac 12&0\\ 0&0&0&\frac 12&-1&\frac 12\\ \frac 12&0&0&0&\frac 52&-2\end{pmatrix}$;
$A_6=\begin{pmatrix}0&1&2&3&4&5&1\\ 1&0&1&2&3&4&1\\ 2&1&0&1&2&3&1\\ 3&2&1&0&1&2&1\\ 4&3&2&1&0&1&1\\ 5&4&3&2&1&0&1\\ 6&5&4&3&2&1&1\end{pmatrix}$, $A_6^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac 12&\frac 12&0&0&0&-\frac 12&\frac 12\\ \frac 12&-1&\frac 12&0&0&0&0\\ 0&\frac 12&-1&\frac 12&0&0&0\\ 0&0&\frac 12&-1&\frac 12&0&0\\ 0&0&0&\frac 12&-1&\frac 12&0\\ 0&0&0&0&\frac 12&-1&\frac 12\\ \frac 12&0&0&0&0&3&-\frac 52\end{pmatrix}$.
Думаю, что закономерность понятна. Два последних числа в последней строке - это $\frac n2$ и $-\frac{n-1}2$. Решение теперь находится по формуле
$\begin{pmatrix}\gamma_0\\ \gamma_1\\ \gamma_2\\ \vdots\\ \gamma_n\end{pmatrix}=A_n^{-1}\begin{pmatrix}c_0\\ c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix}\text{.}\quad\eqno{(4)}$