Привожу разбор упражнения 2:
Цитата:
2) Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
- терм или соотношение теории
![$\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/3/6937e14ec122765a9d014f2cbcf4fcfe82.png)
. Показать, что каждый знак
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
, если он имеется в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, связан с одним и только одним знаком
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
, расположенным слева от него. Показать, что всякий знак
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
, если он имеется в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, либо не связан с другими знаками, либо связан с некоторыми знаками
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
, расположенными справа от него. Ни один другой знак не связан ни с какими знаками.
Докажу утверждения:
S1. Каждый знак
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
, если он имеется в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, связан с одним и только одним знаком
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
, расположенным слева от него;
S2. Всякий знак
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
, если он имеется в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, либо не связан с другими знаками, либо связан с некоторыми знаками
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
, расположенными справа от него;
S3. Ни один другой знак не связан ни с какими знаками;
Если какой либо пункт опирается на предыдущий, то в квадратных скобках в начале предложения этого пункта этот пункт (на который опирается) будет упоминатся.
1.
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
встречается в формативной конструкции по определению терма и соотношения на стр. 35;
2. [1] По определению формативной конструкции на стр. 35 для
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
выполняется одно из условий
a - д;
3. [2] Обозначим
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
как
![$A_n$ $A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ea793aad42e760f5acf5135930081a82.png)
, где
![$A_n$ $A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ea793aad42e760f5acf5135930081a82.png)
есть последний элемент в последовательности знакосочетаний
![$A_1, A_2, ..., A_n$ $A_1, A_2, ..., A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/b/5db73d66f12e84b7f9105103647f5d7a82.png)
. Для каждого
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
(где
![$i > 1$ $i > 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/9/f39bcffcb3faf00a8da8aede3c6545ab82.png)
и
![$i \leq n$ $i \leq n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/b/dbbc26025ec17b175de9db253d65d7d082.png)
) знакосочетания
![$A_1, ..., A_{i - 1}$ $A_1, ..., A_{i - 1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/3/8233256d90a187a1ee2560141e82e75982.png)
есть
предшествующие знакосочетания. И для каждого
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
(где
![$i > 1$ $i > 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/9/f39bcffcb3faf00a8da8aede3c6545ab82.png)
и
![$i \leq n$ $i \leq n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/b/dbbc26025ec17b175de9db253d65d7d082.png)
) выполняется одно из условий
а - д и для
![$A_1$ $A_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c74f257c1a844c30acb274ac45ecd39782.png)
выполняется только
а. То есть последовательность
![$A_1, A_2, ..., A_n$ $A_1, A_2, ..., A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/b/5db73d66f12e84b7f9105103647f5d7a82.png)
есть формативная конструкция, где
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
есть последний элемент этой конструкции;
4. [3]
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
(где
![$i > 1$ $i > 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/9/f39bcffcb3faf00a8da8aede3c6545ab82.png)
и
![$i \leq n$ $i \leq n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/b/dbbc26025ec17b175de9db253d65d7d082.png)
) получается из предшествующих знакосочетаний, если выполняется одной из условий
б - д;
5. [4] Только условие
г строит знакосочетание
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
из
![$A_j$ $A_j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/c/58c9277a170088a03229936790d23a9882.png)
(где
![$j < i$ $j < i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/c/82c6407094b0a106be5e2769a18622ac82.png)
) добавляя слева
![$A_j$ $A_j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/c/58c9277a170088a03229936790d23a9882.png)
знак
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
, а так же заменяя буквы
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
в
![$A_j$ $A_j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/c/58c9277a170088a03229936790d23a9882.png)
на
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
(если
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
имеет вид
![$\tau_x(A_j)$ $\tau_x(A_j)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/9/aa98ddfe069111d1be150946d1f57cdb82.png)
) и
соединяя каждый
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
линией с поставленным слева от
![$A_j$ $A_j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/c/58c9277a170088a03229936790d23a9882.png)
знаком
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
согласно определению
![$\tau_{\alpha}(\Phi)$ $\tau_{\alpha}(\Phi)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/7/5e772ad8afeec54cec6ea0b413eb955282.png)
на стр. 33. Ни какие другие условия не строят знакосочетание
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
добавляя знаки
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
или
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
или заменяя существующие знаки на
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
или
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
;
6. [3, 5] Предположим
![$A_t$ $A_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/0/df02e7666c632d22547b9c75b98c49bf82.png)
знакосочетание для которого выполняется условие
г.
![$A_t$ $A_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/0/df02e7666c632d22547b9c75b98c49bf82.png)
имеет вид
![$\tau_x(A_k)$ $\tau_x(A_k)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/a/7ea439fc8ab060c343b21b9c6198a7fa82.png)
, где
![$k \geq 1$ $k \geq 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/9/ae96194e9dbb4813aa4ad691187f988382.png)
и
![$k < t$ $k < t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/e/1ceac5edfa89820b54e3334c5adb8f7682.png)
;
7. [5, 6] Любой знак
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
записанный вместо
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
связан только с первым знаком
![$A_t$ $A_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/0/df02e7666c632d22547b9c75b98c49bf82.png)
, который есть
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
. Так как
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
может быть только буквой по определению
![$\tau_{\alpha}(\Phi)$ $\tau_{\alpha}(\Phi)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/7/5e772ad8afeec54cec6ea0b413eb955282.png)
и условия
г, то значит, что
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не есть
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
, а следовательно
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
не заменится на
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
и не свяжется с первым знаком
![$A_t$ $A_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/0/df02e7666c632d22547b9c75b98c49bf82.png)
. Это значит, что вне зависимости от того, есть ли в
![$A_k$ $A_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/0/1f0aa5770083d7bade7ac8aafcbfc00882.png)
знаки
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
или нет, новые
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
заменяющие букву
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
будут связаны только с первым знаком
![$A_t$ $A_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/0/df02e7666c632d22547b9c75b98c49bf82.png)
;
8. [4, 5, 7] Если некоторое
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
получается из предшествующих знакосочетаний, то если для этого
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
выполняется условие
б (т.е.
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
имеет вид
![$\neg A_j$ $\neg A_j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/7/427d306cfb7346817380bc501d587b3682.png)
, где
![$j < i$ $j < i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/c/82c6407094b0a106be5e2769a18622ac82.png)
), тогда добавление слева от
![$A_j$ $A_j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/c/58c9277a170088a03229936790d23a9882.png)
знака
![$\neg$ $\neg$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/b/23bf728170c10d0449b90561f827623a82.png)
не изменяет относительной позиции знаков
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
и
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
и не добавляет новых знаков
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
или
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
, а так же не заменяет какие-то знаки на
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
или
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
. Если выполняется условие
в или
д, то выписывание знакосочетаний друг за другом также не изменяет относительной позиции знаков
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
и
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
и не добавляет новых знаков
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
или
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
, а так же не заменяет какие-то знаки на
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
или
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
и аналогично тому когда выполняется условие
б приписывание слева от выписанных знакосочетаний друг за другом знака
![$\vee$ $\vee$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/9/fd925eff76f375c2bf103304b13a5b3582.png)
либо специального знака не изменяет относительной позиции знаков
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
и
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
и не добавляет новых знаков
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
или
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
, а так же не заменяет какие-то знаки на
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
или
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
;
9. [7, 8] Пункты 7 и 8 верны для всех знакосочетаний в последовательности
![$A_1, A_2, ..., A_n$ $A_1, A_2, ..., A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/b/5db73d66f12e84b7f9105103647f5d7a82.png)
, а значит и для
![$A_n$ $A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ea793aad42e760f5acf5135930081a82.png)
. Поэтому выполняется
S1;
10. [5, 6, 7] Знак
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
стоящим первым в последовательности
![$A_t$ $A_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/0/df02e7666c632d22547b9c75b98c49bf82.png)
связан только со знаками
![$\Box$ $\Box$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d9d47eccbab9e6ec6b81d31931ffc82.png)
записанными вместо
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
;
11. [8, 10] Пункты 8 и 10 верны для всех знакосочетаний в последовательности
![$A_1, A_2, ..., A_n$ $A_1, A_2, ..., A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/b/5db73d66f12e84b7f9105103647f5d7a82.png)
, а значит и для
![$A_n$ $A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ea793aad42e760f5acf5135930081a82.png)
. Поэтому выполняется
S2;
12. [5] Согласно 5 ни по какому другому условию не выполняется связывание. И данное утверждение верно для всех знакосочетаний в последовательности
![$A_1, A_2, ..., A_n$ $A_1, A_2, ..., A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/b/5db73d66f12e84b7f9105103647f5d7a82.png)
, а значит и для
![$A_n$ $A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ea793aad42e760f5acf5135930081a82.png)
. Поэтому выполняется
S3;
13. [9, 10, 12]
Ч.Т.Д.Надо разобраться с упражнением 1 и 2 и я чувствую, что мне нехватает строгости в доказательствах. Надеюсь, что разбор доказательств от упражнения 1 и 2 прояснит причины этих сомнений.